Prove que se
é compacto então os seguintes conjuntos também são compactos:
d)
se
.
d)
Passo 1
O enunciado nos dá um conjunto
compacto e tal que
. Pede-se mostrar que o conjunto
é compacto. O conteúdo principal que vamos usar é o teorema: “imagem contínua de compacto é compacto”.
é compacto. O conteúdo principal que vamos usar é o teorema: “imagem contínua de compacto é compacto”.
Passo 2
Como
é compacto em
, o produto finito
também é compacto (por Heine–Borel ou pelo Teorema de Tychonoff em caso finito).
também é compacto (por Heine–Borel ou pelo Teorema de Tychonoff em caso finito).
Passo 3
Definimos
As projeções
e
são contínuas, e a divisão
é contínua em
. Como
, em todo ponto de
temos
, logo
é bem-definida e contínua em
.
Passo 4
Pela propriedade de que a imagem contínua de um conjunto compacto é compacto, segue que
é um conjunto compacto.
Resposta
O conjunto
é compacto.