Prove que se X é compacto então os seguintes conjuntos também são compactos:
d) Q=\{x / y ; x, y \in X\} se 0 \notin X.

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto X\subset\mathbb{R} compacto e tal que 0\notin X. Pede-se mostrar que o conjunto
\;Q=\{x/y\mid x,y\in X\}
é compacto. O conteúdo principal que vamos usar é o teorema: “imagem contínua de compacto é compacto”.

Passo 2

Como X é compacto em \mathbb{R}, o produto finito
\;X\times X
também é compacto (por Heine–Borel ou pelo Teorema de Tychonoff em caso finito).

Passo 3

Definimos
f\colon X\times X\to\mathbb{R}, \qquad f(x,y)=\frac{x}{y}.
As projeções (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y são contínuas, e a divisão (u,v)\mapsto u/v é contínua em \mathbb{R}\times(\mathbb{R}\setminus\{0\}). Como 0\notin X, em todo ponto de X\times X temos y\neq0, logo f é bem-definida e contínua em X\times X.

Passo 4

Pela propriedade de que a imagem contínua de um conjunto compacto é compacto, segue que
f(X\times X) = \Bigl\{\tfrac{x}{y}\mid x,y\in X\Bigr\} =Q
é um conjunto compacto.

Resposta

O conjunto Q é compacto.

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