Dê exemplo de uma série convergente
e de uma seqüência limitada
tais que a série
seja divergente. Examine o que ocorre se uma das hipóteses seguintes for verificada:
(a)
é convergente;
(a)
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de uma série convergente
e de uma sequência limitada
tais que
diverge, e depois investigar o caso em que
é convergente. O conteúdo envolve séries alternadas (teste de Leibniz) e o teste de Dirichlet para séries.
Passo 2
Escolhemos
Aqui
é a série alternada harmônica e
vale só
, logo é limitada, mas não converge (oscila).
Passo 3
Verificamos a convergência de
. Pelo teste de Leibniz, os termos
decrescem a zero, portanto
converge condicionalmente.
Passo 4
Calculamos
:
Então
que é a série harmônica e diverge.
Passo 5
Suponha agora que
. Escrevemos
A segunda soma converge porque
converge. Para
, as somas parciais de
são limitadas e
, logo pelo teste de Dirichlet essa série também converge. Assim
converge.
Resposta
Um exemplo é
pois
converge e
diverge. Se
for convergente, então
converge.