Dê exemplo de uma série convergente ∑ a_{n} e de uma seqüência limitada \left(x_{n}\right) tais que a série ∑ a_{n} x_{n} seja divergente. Examine o que ocorre se uma das hipóteses seguintes for verificada:
(a) \left(x_{n}\right) é convergente;

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de uma série convergente \sum a_{n} e de uma sequência limitada \bigl(x_{n}\bigr) tais que \sum a_{n}x_{n} diverge, e depois investigar o caso em que \bigl(x_{n}\bigr) é convergente. O conteúdo envolve séries alternadas (teste de Leibniz) e o teste de Dirichlet para séries.

Passo 2

Escolhemos
a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}, \quad x_{n} = (-1)^{n}.
Aqui \sum a_{n} é a série alternada harmônica e \bigl(x_{n}\bigr) vale só \pm1, logo é limitada, mas não converge (oscila).

Passo 3

Verificamos a convergência de \sum a_{n}. Pelo teste de Leibniz, os termos \lvert a_{n}\rvert = 1/n decrescem a zero, portanto
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}
converge condicionalmente.

Passo 4

Calculamos a_{n}x_{n}:
a_{n}x_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}\cdot(-1)^{n} = \frac{1}{n}.
Então
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x_{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge.

Passo 5

Suponha agora que \bigl(x_{n}\bigr)\to L. Escrevemos
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x_{n} =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x_{n}-L) +L\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}.
A segunda soma converge porque \sum a_{n} converge. Para
\sum a_{n}(x_{n}-L), as somas parciais de \sum a_{n} são limitadas e (x_{n}-L)\to0, logo pelo teste de Dirichlet essa série também converge. Assim \sum a_{n}x_{n} converge.

Resposta

Um exemplo é
a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}, \quad x_{n} = (-1)^{n},
pois \sum a_{n} converge e \sum a_{n}x_{n}=\sum1/n diverge. Se \bigl(x_{n}\bigr) for convergente, então \sum a_{n}x_{n} converge.

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