Dado que a>0 e b>0, mostre que a equação cúbica (x+a)^2(x-b)+x^2=0 tem pelo menos uma solução positiva e duas soluções negativas.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a>0 e b>0, e definimos
f(x) = (x+a)^2,(x-b) + x^2
O objetivo é mostrar que a equação ,f(x)=0 tem pelo menos uma raiz positiva e duas raízes negativas. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que garante existência de raízes sempre que encontrarmos troca de sinal de f em intervalos apropriados.

Passo 2

Para achar uma raiz positiva, avaliamos f em x=0 e x=b:
f(0) = (0+a)^2,(0-b) + 0^2 = a^2(-b) = -a^2b < 0,
f(b) = (b+a)^2,(b-b) + b^2 = 0 + b^2 = b^2 > 0
Como f(0)<0 e f(b)>0, pelo TVI existe x1in(0,b) tal que f(x1)=0. Logo há pelo menos uma raiz positiva.

Passo 3

Para encontrar uma raiz no intervalo (-a,0), avaliamos em x=-a e x=0:
f(-a) = ( -a + a)^2,(-a - b) + (-a)^2 = 0 + a^2 = a^2 > 0,
e já sabemos que f(0) = -a^2b < 0. Assim, f(-a)>0 e f(0)<0 implicam, pelo TVI, existência de x2in(-a,0) com f(x2)=0. Portanto, há uma raiz negativa entre -a e 0.

Passo 4

Finalmente, como f(x) é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, tem
limxto-inftyf(x)=-infty. E já vimos que f(-a)=a^2>0. Dessa forma, pelo TVI existe x3in(-infty,-a) tal que f(x3)=0. Logo há outra raiz negativa.

Resposta

A equação (x+a)^2(x-b)+x^2=0 tem pelo menos uma solução em (0,b) (positiva) e duas soluções em (-infty,-a) e (-a,0) (negativas).

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