Dado que
e
, mostre que a equação cúbica
tem pelo menos uma solução positiva e duas soluções negativas.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos
e
, e definimos
O objetivo é mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz positiva e duas raízes negativas. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que garante existência de raízes sempre que encontrarmos troca de sinal de
em intervalos apropriados.
Passo 2
Para achar uma raiz positiva, avaliamos
em
e
:
Como
e
, pelo TVI existe
tal que
. Logo há pelo menos uma raiz positiva.
Passo 3
Para encontrar uma raiz no intervalo
, avaliamos em
e
:
e já sabemos que
. Assim,
e
implicam, pelo TVI, existência de
com
. Portanto, há uma raiz negativa entre
e
.
Passo 4
Finalmente, como
é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, tem
. E já vimos que
. Dessa forma, pelo TVI existe
tal que
. Logo há outra raiz negativa.
Resposta
A equação
tem pelo menos uma solução em
(positiva) e duas soluções em
e
(negativas).