Mostre que a equação log 2 x+x-2=0 tem pelo menos uma solução real no intervalo 1<x<2.

Passo 1

Vamos considerar a função
f(x) = log2x + x - 2
definida em [1,2]. O conteúdo aqui é o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário), que diz que se f é contínua em [a,b] e assume sinais opostos em a e b, então existe pelo menos uma raiz em (a,b). Como log2x e x são contínuas, segue que f é contínua em [1,2].

Passo 2

Vamos avaliar f nos extremos do intervalo:
f(1) = log21 + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1 < 0,
f(2) = log22 + 2 - 2 = 1 + 2 - 2 = 1 > 0
Como f(1)<0 e f(2)>0 e f é contínua, pelo Teorema de Bolzano existe cin(1,2) tal que
f(c) = log2c + c - 2 = 0

Resposta

Pelo Teorema de Bolzano, a equação log2x + x - 2 = 0 tem pelo menos uma solução real em (1,2).

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