Suponha que X seja uma v.a. com média e variância iguais a 20 . O que se pode ser dito sobre P(0 \leq X \leq 40) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • X é uma variável aleatória com média igual a 20, isto é E[X]=20.
  • A variância de X é também 20, isto é \mathrm{Var}(X)=20.
A pergunta é: o que se pode afirmar sobre P(0 \leq X \leq 40)?

Passo 2

Primeiro vou reescrever o evento 0 \leq X \leq 40 de uma forma que fique ligada à média:
  • Se E[X]=20, então o intervalo 0\le X\le 40 é exatamente o intervalo simétrico em torno da média com raio 20.
  • Em termos de distância à média isso é
0 \le X \le 40 \quad\Longleftrightarrow\quad |X-20| \le 20.
Portanto queremos \,P(|X-20|\le 20)\,.

Passo 3

Agora preciso de uma desigualdade que relacione probabilidades de oscilar longe da média com a variância. A ferramenta padrão é a desigualdade de Chebyshev. Vou apresentá-la e mostrar de onde vem (passo a passo), porque é útil decorar o raciocínio para a prova.
Lema (Markov): para qualquer variável aleatória não-negativa Y e qualquer a>0,
P(Y\ge a)\le\frac{E[Y]}{a}.
Prova rápida do lema: escrever E[Y]=\int_0^\infty P(Y>t)\,dt ou usar que Y\ge a\mathbf{1}_{\{Y\ge a\}} e tirar esperança.
Agora, para Chebyshev, escolhe-se Y=(X-\mu)^2, que é não-negativa, e toma-se a=t^2. Aplicando Markov:
P\big((X-\mu)^2 \ge t^2\big) \le \frac{E[(X-\mu)^2]}{t^2}.
Como \{(X-\mu)^2\ge t^2\}=\{|X-\mu|\ge t\}, obtemos a desigualdade de Chebyshev:
P(|X-\mu|\ge t) \le \frac{\mathrm{Var}(X)}{t^2}.
Isto significa: a probabilidade de X estar a distância pelo menos t da média é no máximo \mathrm{Var}(X)/t^2. É uma garantia que vale para qualquer distribuição com média e variância conhecidas.

Passo 4

Aplicando Chebyshev ao nosso problema:
  • Aqui \mu=20 e \mathrm{Var}(X)=20.
  • Tomamos t=20 (porque queremos |X-20|\le 20).
Pela desigualdade de Chebyshev,
P(|X-20|\ge 20) \le \frac{20}{20^2}=\frac{20}{400}=\frac{1}{20}=0,05.
Logo
P(|X-20|\le 20)=1-P(|X-20|\ge 20)\ge 1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}=0,95.

Passo 5

Interpretação e observações úteis para a prova:
  • O que podemos garantir com as hipóteses dadas é apenas que
P(0\le X\le 40)=P(|X-20|\le 20)\ge \frac{19}{20}=0,95.
  • Não se pode, sem informação adicional sobre a distribuição de X, afirmar um limite superior melhor que 1, nem afirmar que a probabilidade seja exatamente 0,95. A desigualdade de Chebyshev fornece apenas uma garantia inferior; para distribuições concretas (por exemplo normal) a probabilidade pode ser muito maior que 0,95.
  • Em síntese: com média e variância conhecidas, a conclusão típica na prova é aplicar Chebyshev para obter essa bound universal.
Força aí — essa é uma conclusão bem sólida para usar na prova: pelo menos 95\% da massa de X fica no intervalo [0,40].

Resposta

P(0\le X\le 40)\ge \dfrac{19}{20}=0,95

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