Suponha que
seja uma v.a. com média e variância iguais a 20 . O que se pode ser dito sobre
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é uma variável aleatória com média igual a , isto é . - A variância de
é também , isto é .
A pergunta é: o que se pode afirmar sobre
?
Passo 2
Primeiro vou reescrever o evento
de uma forma que fique ligada à média:
- Se
, então o intervalo é exatamente o intervalo simétrico em torno da média com raio . - Em termos de distância à média isso é
Portanto queremos
.
Passo 3
Agora preciso de uma desigualdade que relacione probabilidades de oscilar longe da média com a variância. A ferramenta padrão é a desigualdade de Chebyshev. Vou apresentá-la e mostrar de onde vem (passo a passo), porque é útil decorar o raciocínio para a prova.
Lema (Markov): para qualquer variável aleatória não-negativa
e qualquer
,
Prova rápida do lema: escrever
ou usar que
e tirar esperança.
Agora, para Chebyshev, escolhe-se
, que é não-negativa, e toma-se
. Aplicando Markov:
Como
, obtemos a desigualdade de Chebyshev:
Isto significa: a probabilidade de
estar a distância pelo menos
da média é no máximo
. É uma garantia que vale para qualquer distribuição com média e variância conhecidas.
Passo 4
Aplicando Chebyshev ao nosso problema:
- Aqui
e . - Tomamos
(porque queremos ).
Pela desigualdade de Chebyshev,
Logo
Passo 5
Interpretação e observações úteis para a prova:
- O que podemos garantir com as hipóteses dadas é apenas que
- Não se pode, sem informação adicional sobre a distribuição de
, afirmar um limite superior melhor que , nem afirmar que a probabilidade seja exatamente . A desigualdade de Chebyshev fornece apenas uma garantia inferior; para distribuições concretas (por exemplo normal) a probabilidade pode ser muito maior que . - Em síntese: com média e variância conhecidas, a conclusão típica na prova é aplicar Chebyshev para obter essa bound universal.
Força aí — essa é uma conclusão bem sólida para usar na prova: pelo menos
da massa de
fica no intervalo
.