Para quais valores de k in R os vetores (k, 1,0),(1, k, 1), e (0,1, k) são linearmente dependentes?

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de kinR tais que os vetores (k,1,0), (1,k,1) e (0,1,k) em R^3 sejam linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o fato de que três vetores em R^3 são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles for zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os vetores dados:
M = k & 1 & 0 1 & k & 1 0 & 1 & k
e aplicamos a condição de dependência linear:
det M = 0

Passo 3

Vamos calcular o determinante por expansão na primeira linha:
det M = k k & 1 1 & k -1 1 & 1 0 & k +0cdot(cdots)

Passo 4

Calculando cada menor e simplificando, temos
det M = kl(k^2 - 1r) - 1l(k - 0r) = k^3 - k - k = k^3 - 2k
A condição det M=0 vira
k^3 - 2k = 0 Long<=ftrightarrow k,(k^2 - 2) = 0

Passo 5

Da equação k,(k^2 - 2)=0 seguem as soluções
k = 0, k^2 = 2 ;Longrightarrow; k = pmraiz2

Resposta

k in 0,pmraiz2

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