Sejam
e
e
e
. Encontre uma base para
.
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
e
.
Queremos encontrar uma base de . Vamos parametrizar cada subespaço usando as equações lineares e depois impor simultaneamente as condições de
e
.
Queremos encontrar uma base de
Passo 2
Parametrizando
: da condição
vem
, e de
vem
. Logo um vetor genérico de
é
com
. Assim
Passo 3
Parametrizando
: de
vem
, e de
vem
. Assim um vetor genérico de
é
com
. Logo
Passo 4
Para estar em
um vetor deve pertencer a ambas as parametrizações. Escrevendo
comparamos coordenadas:
- Na 1ª coordenada
(ok para qualquer ). - Na 2ª coordenada
implica e portanto . - Na 3ª coordenada
(ok para qualquer ). - Na 4ª coordenada
implica e portanto .
Logo só sobra a solução triviale .
Passo 5
Concluímos que
, ou seja, é o subespaço nulo de dimensão 0. Um conjunto de vetores que gera apenas o vetor zero, de dimensão zero, é o conjunto vazio.
Resposta
A base de
é o conjunto vazio:
.