Sejam U=(a, b, c, d) in R^4 mid a+b=0 e c-d=0 e W=(a, b, c, d) mid a-b=0 e c+d=0. Encontre uma base para U cap W.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^4:
U=(a,b,c,d)mid a+b=0,;c-d=0 e
W=(a,b,c,d)mid a-b=0,;c+d=0.
Queremos encontrar uma base de Ucap W. Vamos parametrizar cada subespaço usando as equações lineares e depois impor simultaneamente as condições de U e W.

Passo 2

Parametrizando U: da condição a+b=0 vem b=-a, e de c-d=0 vem d=c. Logo um vetor genérico de U é
(a,b,c,d) = (a,-a,c,c) = a,(1,-1,0,0) ;+; c,(0,0,1,1),
com a,cinR. Assim
U = ,a(1,-1,0,0) + c(0,0,1,1)mid a,cinR

Passo 3

Parametrizando W: de a-b=0 vem b=a, e de c+d=0 vem d=-c. Assim um vetor genérico de W é
(a,b,c,d) = (a,a,c,-c) = a,(1,1,0,0) ;+; c,(0,0,1,-1),
com a,cinR. Logo
W = ,a(1,1,0,0) + c(0,0,1,-1)mid a,cinR

Passo 4

Para estar em Ucap W um vetor deve pertencer a ambas as parametrizações. Escrevendo
(a,-a,c,c) = (a,a,c,-c),
comparamos coordenadas:
  1. Na 1ª coordenada a=a (ok para qualquer a).
  2. Na 2ª coordenada -a = a implica 2a=0 e portanto a=0.
  3. Na 3ª coordenada c = c (ok para qualquer c).
  4. Na 4ª coordenada c = -c implica 2c=0 e portanto c=0.
    Logo só sobra a solução trivial a=0 e c=0.

Passo 5

Concluímos que Ucap W=(0,0,0,0), ou seja, é o subespaço nulo de dimensão 0. Um conjunto de vetores que gera apenas o vetor zero, de dimensão zero, é o conjunto vazio.

Resposta

A base de Ucap W é o conjunto vazio: varnothing.

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