Dado S=(a, b, a+2 b): a, b in R um subconjunto de um espaço vetorial V=R^3 :
a) Mostre que S é subespaço de V=R^3.
b) Encontre um conjunto com exatamente dois elementos que seja um gerador para S.
c) Encontre um conjunto com exatamente três elementos que seja um gerador para S.
d) Encontre A, B subset R^3 tais que A cap B=Phi e span(A)=span(B)=S.

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto
S = { (a,b,a+2b) : a,b \in ℝ } ⊂ V = ℝ³
e pede: (a) mostrar que S é subespaço de V, (b) achar um gerador com 2 elementos, © achar um gerador com 3 elementos e (d) exibir dois subconjuntos A e B, disjuntos, cujo span seja S. Para isso vamos usar a definição de subespaço (fechado sob soma e multiplicação escalar) e o conceito de span (combinações lineares).

Passo 2

Primeiro mostramos que S é subespaço verificando que ele contém o vetor zero e é fechado sob soma e escalar. O vetor zero é (0,0,0) = (a,b,a+2b) com a=0 e b=0, logo 0∈S. Dados u=(a,b,a+2b) e v=(a’,b’,a’+2b’) em S e λ em ℝ, temos
u+v = (a+a’, b+b’, (a+2b)+(a’+2b’)) = (A, B, A+2B) ∈ S
com A=a+a’, B=b+b’. E
λu = (λa, λb, λ(a+2b)) = (A’,B’,A’+2B’) ∈ S
com A’=λa, B’=λb. Assim S é subespaço.

Passo 3

Para encontrar um gerador com dois elementos, basta escrever (a,b,a+2b) como combinação linear de dois vetores fixos. Observando
(a,b,a+2b) = a(1,0,1) + b(0,1,2),
vemos que
{(1,0,1), (0,1,2)}
gera todo S.

Passo 4

Podemos obter um gerador com três elementos acrescentando um vetor redundante ao conjunto anterior, por exemplo
{(1,0,1), (0,1,2), (1,1,3)}.
Note que (1,1,3) = (1,0,1)+(0,1,2), então esses três vetores continuam gerando S.

Passo 5

Por fim, queremos A e B disjuntos tais que span(A)=span(B)=S. Tomemos
A = {(1,0,1), (0,1,2)}
e definamos dois vetores novos que ficam fora de A, mas ainda geram S:
v₁ = (1,1,3) = (1,0,1)+(0,1,2),
v₂ = (1,−1,−1) = (1,0,1) − (0,1,2).
Então podemos escolher
B = {v₁, v₂} = {(1,1,3), (1,−1,−1)}
Evidentemente A∩B = ∅, e como cada vᵢ é combinação de A, span(B)=span(A)=S.

Resposta

a) S é subespaço de ℝ³ pois contém 0 e é fechado sob soma e escalar.
b) Um gerador com 2 elementos é {(1,0,1),(0,1,2)}.
c) Um gerador com 3 elementos é {(1,0,1),(0,1,2),(1,1,3)}.
d) Dois subconjuntos disjuntos com span = S são
A = {(1,0,1),(0,1,2)}
B = {(1,1,3),(1,−1,−1)}.

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