Dado
um subconjunto de um espaço vetorial
:
a) Mostre que
é subespaço de
.
b) Encontre um conjunto com exatamente dois elementos que seja um gerador para
.
c) Encontre um conjunto com exatamente três elementos que seja um gerador para
.
d) Encontre
tais que
e
.
a) Mostre que
b) Encontre um conjunto com exatamente dois elementos que seja um gerador para
c) Encontre um conjunto com exatamente três elementos que seja um gerador para
d) Encontre
Passo 1
O enunciado nos dá o subconjunto
S = { (a,b,a+2b) : a,b \in ℝ } ⊂ V = ℝ³
e pede: (a) mostrar que S é subespaço de V, (b) achar um gerador com 2 elementos, © achar um gerador com 3 elementos e (d) exibir dois subconjuntos A e B, disjuntos, cujo span seja S. Para isso vamos usar a definição de subespaço (fechado sob soma e multiplicação escalar) e o conceito de span (combinações lineares).
Passo 2
Primeiro mostramos que S é subespaço verificando que ele contém o vetor zero e é fechado sob soma e escalar. O vetor zero é (0,0,0) = (a,b,a+2b) com a=0 e b=0, logo 0∈S. Dados u=(a,b,a+2b) e v=(a’,b’,a’+2b’) em S e λ em ℝ, temos
u+v = (a+a’, b+b’, (a+2b)+(a’+2b’)) = (A, B, A+2B) ∈ S
com A=a+a’, B=b+b’. E
λu = (λa, λb, λ(a+2b)) = (A’,B’,A’+2B’) ∈ S
com A’=λa, B’=λb. Assim S é subespaço.
Passo 3
Para encontrar um gerador com dois elementos, basta escrever (a,b,a+2b) como combinação linear de dois vetores fixos. Observando
(a,b,a+2b) = a(1,0,1) + b(0,1,2),
vemos que
{(1,0,1), (0,1,2)}
gera todo S.
Passo 4
Podemos obter um gerador com três elementos acrescentando um vetor redundante ao conjunto anterior, por exemplo
{(1,0,1), (0,1,2), (1,1,3)}.
Note que (1,1,3) = (1,0,1)+(0,1,2), então esses três vetores continuam gerando S.
Passo 5
Por fim, queremos A e B disjuntos tais que span(A)=span(B)=S. Tomemos
A = {(1,0,1), (0,1,2)}
e definamos dois vetores novos que ficam fora de A, mas ainda geram S:
v₁ = (1,1,3) = (1,0,1)+(0,1,2),
v₂ = (1,−1,−1) = (1,0,1) − (0,1,2).
Então podemos escolher
B = {v₁, v₂} = {(1,1,3), (1,−1,−1)}
Evidentemente A∩B = ∅, e como cada vᵢ é combinação de A, span(B)=span(A)=S.
Resposta
a) S é subespaço de ℝ³ pois contém 0 e é fechado sob soma e escalar.
b) Um gerador com 2 elementos é {(1,0,1),(0,1,2)}.
c) Um gerador com 3 elementos é {(1,0,1),(0,1,2),(1,1,3)}.
d) Dois subconjuntos disjuntos com span = S são
A = {(1,0,1),(0,1,2)}
B = {(1,1,3),(1,−1,−1)}.
b) Um gerador com 2 elementos é {(1,0,1),(0,1,2)}.
c) Um gerador com 3 elementos é {(1,0,1),(0,1,2),(1,1,3)}.
d) Dois subconjuntos disjuntos com span = S são
A = {(1,0,1),(0,1,2)}
B = {(1,1,3),(1,−1,−1)}.