Seja
um espaço vetorial de dimensão
com um produto interno. Seja
um subespaço vetorial de
de dimensão
(com
) e seja
uma base ortogonal de
. Provar que :
a. Para todo
, o vetor
pertence a
.
b. Provar que
.
a. Para todo
b. Provar que
Passo 1
Estamos num espaço vetorial
de dimensão
com produto interno, e
é um subespaço de dimensão
que tem uma base ortonormal
. Precisamos mostrar duas coisas: (a) para todo
, o vetor
está em
; (b) com isso, provar que
.
Passo 2
Lembrando que
e que basta testar ortogonalidade em uma base de
. Seja então
. Para verificar
, tomamos um vetor base arbitrário
e calculamos
Calculamos em bloco a seguir:
$$\begin{aligned}\langle v,e_j\rangle &= \Big\langle u-\sum_{i=1}^k\langle u,e_i\rangle e_i,;e_j\Big\rangle\
Calculamos em bloco a seguir:
$$\begin{aligned}\langle v,e_j\rangle &= \Big\langle u-\sum_{i=1}^k\langle u,e_i\rangle e_i,;e_j\Big\rangle\
&= \langle u,e_j\rangle-\sum_{i=1}^k\langle u,e_i\rangle\langle e_i,e_j\rangle\
&= \langle u,e_j\rangle-\langle u,e_j\rangle\cdot1\
&=0,
&= \langle u,e_j\rangle-\langle u,e_j\rangle\cdot1\
&=0,
\end{aligned}$$
onde usamos para
e
. Assim
para todo
, logo
é ortogonal a todos os
e portanto
.
onde usamos
Passo 3
Para mostrar
, basta notar que qualquer
se escreve como
$$u=\underbrace{\sum_{i=1}^k\langle u,e_i\rangle e_i}{\in F}+\underbrace{\Bigl(u-\sum{i=1}^k\langle u,e_i\rangle e_i\Bigr)}_{\in F^\perp}.
$$
Passo 4
Finalmente, para ver que essa soma é direta, considere um
. Então
(pois
), mas pelo produto interno positivo segue
. Logo a interseção é apenas o vetor nulo, e concluímos que
Resposta
Portanto, para todo
o vetor
fica em
, e cada
decompõe-se unicamente como soma de um elemento de
e um de
, mostrando que
.