Seja E um espaço vetorial de dimensão n com um produto interno. Seja F um subespaço vetorial de E de dimensão k (com k ) e seja F uma base ortogonal de u in E. Provar que :
a. Para todo v=u-sumi=1^k ei, o vetor F^perp pertence a E=F oplus F^perp.
b. Provar que .

Passo 1

Estamos num espaço vetorial E de dimensão n com produto interno, e F é um subespaço de dimensão k que tem uma base ortonormal e1,dots,ek. Precisamos mostrar duas coisas: (a) para todo uin E, o vetor v = u - sumi=1^k lang<= u,eirang<= ei está em F^perp; (b) com isso, provar que E = F oplus F^perp.

Passo 2

Lembrando que F^perp=win E: lang<= w,phirang<==0 forallphiin F, e que basta testar ortogonalidade em uma base de F. Seja então v=u-sumi=1^klang<= u,eirang<= ei. Para verificar vin F^perp, tomamos um vetor base arbitrário ej e calculamos
Calculamos em bloco a seguir:
$$\begin{aligned}\langle v,e_j\rangle &= \Big\langle u-\sum_{i=1}^k\langle u,e_i\rangle e_i,;e_j\Big\rangle\
&= \langle u,e_j\rangle-\sum_{i=1}^k\langle u,e_i\rangle\langle e_i,e_j\rangle\
&= \langle u,e_j\rangle-\langle u,e_j\rangle\cdot1\
&=0,
\end{aligned}$$
onde usamos lang<= v,ejrang<= &= lang<= u-sumi=1^klang<= u,eirang<= ei,;ejrang<= &= lang<= u,ejrang<=-sumi=1^klang<= u,eirang<=lang<= ei,ejrang<= &= lang<= u,ejrang<=-lang<= u,ejrang<=cdot1 &=0, para lang<= ei,ejrang<==0 e ineq j. Assim lang<= ej,ejrang<==1 para todo lang<= v,ejrang<==0, logo j é ortogonal a todos os v e portanto ej.

Passo 3

Para mostrar E=F+F^perp, basta notar que qualquer uin E se escreve como
$$u=\underbrace{\sum_{i=1}^k\langle u,e_i\rangle e_i}{\in F}+\underbrace{\Bigl(u-\sum{i=1}^k\langle u,e_i\rangle e_i\Bigr)}_{\in F^\perp}.
$$

Passo 4

Finalmente, para ver que essa soma é direta, considere um xin Fcap F^perp. Então lang<= x,xrang<==0 (pois xin F^perp), mas pelo produto interno positivo segue x=0. Logo a interseção é apenas o vetor nulo, e concluímos que
E=Foplus F^perp

Resposta

Portanto, para todo uin E o vetor v=u-sumi=1^klang<= u,eirang<= ei fica em F^perp, e cada u decompõe-se unicamente como soma de um elemento de F e um de F^perp, mostrando que E=Foplus F^perp.

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