Seja F^perp e E^perp. Calcular e .

Passo 1

O exercício pede calcular os complementos ortogonais dos subespaços F e E em R^3. O conteúdo principal envolve o produto interno e a definição de complemento ortogonal: dado um subespaço definido por uma equação linear ax + by + cz = 0, o vetor normal (a,b,c) gera seu complemento ortogonal.

Passo 2

Para F = (x,y,z): x - y + z = 0, reconhecemos que essa é a equação de um plano com vetor normal nF = (1,-1,1). Assim, qualquer vetor ortogonal a F é múltiplo desse normal, logo
F^perp = span(1,-1,1)

Passo 3

Para E = (x,y,z): x = 2y, podemos reescrever a condição como x - 2y + 0z = 0. O vetor normal é nE = (1,-2,0). Portanto,
E^perp = span(1,-2,0)

Resposta

F^{\perp} = \mathrm{span}{(1,-1,1)}, \quad E^{\perp} = \mathrm{span}{(1,-2,0)}.

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