Dado h(x), calcule h^{\prime}(x) e simplifique a resposta.
h(x)=(2+\operatorname{sen} x)^{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x) = \bigl(2 + \operatorname{sen} x\bigr)^{\cos x}.
O conteúdo usado será diferenciação de função na forma f(x)^{g(x)}, via logaritmo natural.

Passo 2

Fazemos logaritmo em ambos os lados para simplificar a derivada:
\ln h(x) = \cos x \,\ln\!\bigl(2 + \operatorname{sen} x\bigr).

Passo 3

Derivamos em relação a x. No lado esquerdo, \frac{d}{dx}[\ln h(x)] = \frac{h'(x)}{h(x)}. No lado direito, aplicamos o produto e a cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\cos x \,\ln(2+\operatorname{sen} x)\bigr] = -\operatorname{sen} x \,\ln(2+\operatorname{sen} x) + \cos x \,\frac{1}{2+\operatorname{sen} x}\,\cos x.

Passo 4

Igualando as duas expressões:
\frac{h'(x)}{h(x)} = -\operatorname{sen} x \,\ln(2+\operatorname{sen} x) + \frac{\cos^2 x}{2+\operatorname{sen} x}.
Multiplicamos por h(x) para obter h'(x):
h'(x) = \bigl(2+\operatorname{sen} x\bigr)^{\cos x} \Bigl( -\operatorname{sen} x \,\ln(2+\operatorname{sen} x) + \frac{\cos^2 x}{2+\operatorname{sen} x} \Bigr).

Resposta

h'(x) = (2+\operatorname{sen} x)^{\cos x} \Bigl(\frac{\cos^2 x}{2+\operatorname{sen} x} \;-\;\operatorname{sen} x\,\ln(2+\operatorname{sen} x)\Bigr).

Exercícios relacionados