Dado h(x), calcule h^{\prime}(x) e simplifique a resposta.
h(x)=\operatorname{sen}(\ln (2 x+1)) \quad *

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h(x)=\sin\bigl(\ln(2x+1)\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos ver h(x) como composição de duas funções:
\displaystyle u(x)=\ln(2x+1) e f(u)=\sin(u),
ou seja, h(x)=f\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
f'(u)=\cos(u) e
u'(x)=\frac{d}{dx}\ln(2x+1)=\frac{1}{2x+1}\cdot 2=\frac{2}{2x+1}.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
h'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot\frac{2}{2x+1} =\cos\bigl(\ln(2x+1)\bigr)\,\frac{2}{2x+1}.

Passo 5

Reescrevendo de forma mais enxuta, obtemos
h'(x)=\frac{2\,\cos\bigl(\ln(2x+1)\bigr)}{2x+1}.

Resposta

h'(x)=\frac{2\,\cos\bigl(\ln(2x+1)\bigr)}{2x+1}.

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