Dado h(x), calcule h^{\prime}(x) e simplifique a resposta.
h(x)=\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x)=\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}.
O conteúdo aqui é derivação de função composta usando a regra da cadeia. Precisamos aplicar a regra da cadeia numa raiz quadrada e depois derivar o interior.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{2}+e^{\sqrt{x}},
assim
h(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{\tfrac12}.
Pela regra da cadeia,
h'(x)=\frac12\,\bigl(u(x)\bigr)^{-\tfrac12}\,u'(x)\;=\;\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.

Passo 3

Agora calculamos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr).
Temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x
e, para e^{\sqrt{x}}, usando a regra da cadeia outra vez,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr) =e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr) =e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Logo
u'(x)=2x+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Substituindo em
h'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} =\frac{2x+\tfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}.
Colocamos o numerador sobre um único denominador 2\sqrt{x}:
2x=\frac{4x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}},
portanto
2x+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} =\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Assim
h'(x) =\frac{\displaystyle \frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}} =\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}\,\cdot2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}} =\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}.

Resposta

h'(x)=\frac{4x^{\tfrac32}+e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}.

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