Dado o campo elétrico E=(k / r) r em coordenadas cilindricas, mostrar que o trabalho W necessário para mover uma carga pontual Q desde qualquer ponto r para um ponto duas vezes mais distante é independente de r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o trabalho necessário para mover uma carga de um ponto para um ponto que está duas vezes mais distante no campo elétrico não depende do valor inicial de . Vamos usar conceitos de trabalho em campos elétricos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o trabalho W = Q integralr1^r2 E cdot dr feito para mover uma carga em um campo elétrico. A fórmula básica é:
Aqui, é a carga, é o campo elétrico, e a integral vai do ponto inicial para o ponto final .

Passo 3

No nosso caso, o campo elétrico é radial e dado por W = Q integralr^2r kr dr . Então, o trabalho fica:
Estamos movendo a carga de para .

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de W = Qk integralr^2r 1r dr = Qk [ ln r ]r^2r = Qk (ln(2r) - ln r) em relação a W = Qk ln ( 2rr ) = Qk ln 2 é o logaritmo natural:
Usando as propriedades dos logaritmos, isso simplifica para:

Resposta

O trabalho necessário para mover a carga de para é , que é independente de .

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