Dado um campo escalar f: R^3 R e campos vetoriais u=u(x, y, z) e v=v(x, y, z), mostre que
nabla cdot(u times v)=v cdot(nabla times u)-u cdot(nabla times v)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade vetorial
nabla cdot (vec u times vec v) ;=;vec vcdot(nablatimesvec u);-;vec ucdot(nablatimesvec v),
onde vec u=(u1,u2,u3) e vec v=(v1,v2,v3) são campos vetoriais em R^3. Vamos usar a notação com o símbolo de Levi-Civita epsilonijk, a regra do produto e a definição de divergência e rotor em componentes.

Passo 2

Escrevemos primeiro o produto vetorial em componentes usando
(vec utimesvec v)i ;=;epsilonijk,uj,vk
Aqui e adiante adotamos a convenção de soma sobre índices repetidos.

Passo 3

Aplicamos a divergência, isto é, derivamos em relação a xi:
nablacdot(vec utimesvec v) =partialil[(vec utimesvec v)ir] =partialil[epsilonijk,uj,vkr]
Pela regra do produto, isso se expande em duas parcelas:
partiali(epsilonijkujvk) =epsilonijk(partialiuj),vk ;+;epsilonijkuj,(partialivk)

Passo 4

Reconhecemos cada termo como produto escalar com um rotor. De fato, pela definição
(nablatimesvec u)k =epsilonkell m,partialellum,
e usando a propriedade ciclíca epsilonijk=epsilonkij, a primeira parcela vira
epsilonijk(partialiuj),vk =vk,epsilonkij,partialiuj =vk,(nablatimesvec u)k =vec vcdot(nablatimesvec u)
Para a segunda parcela, note que
epsilonijkuj,partialivk =-,uj,epsilonjik,partialivk =-,uj,(nablatimesvec v)j =-,vec ucdot(nablatimesvec v)

Passo 5

Somando as duas parcelas obtemos
nablacdot(vec utimesvec v) =vec vcdot(nablatimesvec u) ;-;vec ucdot(nablatimesvec v),
que é exatamente a identidade requerida.

Resposta

nabla cdot (vec u times vec v) =vec vcdot(nablatimesvec u) -vec ucdot(nablatimesvec v)

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