Dado um campo escalar
e campos vetoriais
e
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade vetorial
onde
e
são campos vetoriais em
. Vamos usar a notação com o símbolo de Levi-Civita
, a regra do produto e a definição de divergência e rotor em componentes.
Passo 2
Escrevemos primeiro o produto vetorial em componentes usando
Aqui e adiante adotamos a convenção de soma sobre índices repetidos.
Passo 3
Aplicamos a divergência, isto é, derivamos em relação a
:
Pela regra do produto, isso se expande em duas parcelas:
Passo 4
Reconhecemos cada termo como produto escalar com um rotor. De fato, pela definição
e usando a propriedade ciclíca
, a primeira parcela vira
Para a segunda parcela, note que
Passo 5
Somando as duas parcelas obtemos
que é exatamente a identidade requerida.