Determine soluções particulares para as seguintes equações:
y^prime prime+2 y^prime+y=e^t cost.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular de
y''+2y'+y=f(t)
para dois casos de f(t): primeiro f(t)=e^t e depois f(t)=cos t. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, pois os forçamentos são combinações de exponencial e funções trigonométricas.

Passo 2

Caso f(t)=e^t. Como e^t não é solução da homogênea (as raízes são r=-1 duplas), fazemos o palpite
yp(t)=C,e^t
Então
yp' = C,e^t, yp''=C,e^t,
e substituindo na equação,
yp''+2yp'+yp = C,e^t +2C,e^t +C,e^t =4C,e^t overset!= e^t
Logo 4C=1, ou seja C=tfrac14.

Passo 3

Concluímos que, para f(t)=e^t,
boxedyp1(t)=14e^t

Passo 4

Caso f(t)=cos t. Como cos t e sin t também não são soluções da homogênea, fazemos o palpite
yp(t)=Acos t + Bsin t
Então
yp' = -Asin t + Bcos t, yp'' = -Acos t - Bsin t
Substituindo,
yp''+2yp'+yp = (-Acos t -Bsin t) +2(-Asin t +Bcos t) +(Acos t +Bsin t)
Agrupando termos de cos t e sin t obtemos
( -A +2B +A)cos t +(-B -2A +B)sin t =2Bcos t -2Asin t overset!=cos t
Isso dá o sistema
2B=1, -2A=0 Longrightarrow A=0,;B=tfrac12

Passo 5

Concluímos que, para f(t)=cos t,
boxedyp2(t)=12sin t

Resposta

Para y''+2y'+y=e^t:
yp(t)=14e^t
Para y''+2y'+y=cos t:
yp(t)=12sin t

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