Nos problemas 4.23 a 4.45 , resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial.
4.41 sen x d x+y d y=0 ; y(0)=-2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial sin x,dx + y,dy = 0 com condição inicial y(0)=-2. Trata-se de uma equação de forma exata, pois podemos verificar se é exata e resolver encontrando uma função potencial.

Passo 2

Verificamos a exatidão comparando partial M/partial y e partial N/partial x para M(x,y)=sin x e N(x,y)=y:
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=0,
logo a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M=sin x, partial Phipartial y=N=y
Integramos partial Phipartial x=sin x em x:
Phi(x,y)=integral sin x,dx = -cos x + h(y)
Depois, impomos partial Phi/partial y = h'(y)=y, portanto
h(y)=integral y,dy = y^22
Segue a solução implícita
-cos x + y^22=C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial x=0, y=-2:
-cos 0 + (-2)^22 = -1 + 2 =1,
logo C=1.

Passo 5

Substituindo C=1 na solução implícita,
-cos x + y^22=1 Longrightarrow y^22=1+cos x Longrightarrow y^2=2(1+cos x)=4cos^2!l(tfracx2r)
Daí
y(x)=pm 2cos!l(tfracx2r)
Para satisfazer y(0)=-2, escolhemos o sinal negativo,
y(x)=-2cos!l(tfracx2r)

Resposta

y(x)=-2cos!l(tfracx2r)

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