Questão 1 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{2 n+1}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^inftyx^n2n+1
O conteúdo é séries de potências: vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e depois verificar a convergência em x=pm1.

Passo 2

Seja
an=x^n2n+1
Aplicando o teste da razão, calculamos
|an+1an| =|x^n+1/(2n+3)x^n/(2n+1)| =|x|;2n+12n+3
Como
limntoinfty2n+12n+3=1,
fica
limntoinfty|an+1an|=|x|
Pelo teste da razão, a série converge se |x|<1.

Passo 3

Daí o raio de convergência é
R=1
e a convergência automática vale para -1<x<1. Agora precisamos testar os extremos x=1 e x=-1.

Passo 4

Em x=1 a série fica
sumn=1^infty12n+1
Essa série se comporta como sum1/n (harmônica), logo diverge por comparação.

Passo 5

Em x=-1 a série é
sumn=1^infty(-1)^n2n+1
Os termos em valor absoluto são 1/(2n+1), que decrescem a zero, e o sinal é alternado. Pelo critério de Leibniz (série alternada com termos decrescentes a zero), converge.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1).

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