Questão 1 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{2 n+1}.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo é séries de potências: vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e depois verificar a convergência em .
Passo 2
Seja
Aplicando o teste da razão, calculamos
Como
limntoinfty2n+12n+3=1,
fica
limntoinfty|an+1an|=|x|
Pelo teste da razão, a série converge se |x|<1.
Passo 3
Daí o raio de convergência é
R=1
e a convergência automática vale para -1<x<1. Agora precisamos testar os extremos x=1 e x=-1.
Passo 4
Em x=1 a série fica
sumn=1^infty12n+1
Essa série se comporta como sum1/n (harmônica), logo diverge por comparação.
Passo 5
Em x=-1 a série é
sumn=1^infty(-1)^n2n+1
Os termos em valor absoluto são 1/(2n+1), que decrescem a zero, e o sinal é alternado. Pelo critério de Leibniz (série alternada com termos decrescentes a zero), converge.