Seja uma curva contida no gráfico de . Suponha que e seja a reta tangente à em . Mostre que está contida no plano
Passo 1
O enunciado diz que é uma curva contida no gráfico da função
que passa por . Queremos mostrar que a reta tangente
está inteiramente contida no plano tangente ao gráfico de em , cujo equação é
O conteúdo que vamos usar é o gradiente e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Escrevemos a reta tangente em forma paramétrica: o ponto base é e o vetor diretor é . Logo,
Passo 3
Definimos a função
cujo nível descreve exatamente o gráfico de . O gradiente de é
Em isso vale
Passo 4
Como está no nível , temos . Diferenciando em e avaliando em , pela regra da cadeia,
Isso mostra que o vetor diretor gamma'(0) é ortogonal ao vetor normal nabla F(1,2,5) do plano.
Passo 5
Como a reta T passa por gamma(0)=(1,2,5) — que satisfaz F=0 — e seu vetor diretor é ortogonal ao normal do plano, concluímos que T está contida nesse plano tangente.
Resposta
A reta tangente T a gamma em (1,2,5) está contida no plano