Seja uma curva contida no gráfico de . Suponha que e seja a reta tangente à em . Mostre que está contida no plano

Passo 1

O enunciado diz que gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)) é uma curva contida no gráfico da função
f(x,y)=x^2+y^2,
que passa por gamma(0)=(1,2,5). Queremos mostrar que a reta tangente
T:;gamma(0)+s,gamma'(0)
está inteiramente contida no plano tangente ao gráfico de f em (1,2,5), cujo equação é
z - f(1,2) ;=; fx(1,2),(x-1) + fy(1,2),(y-2)
O conteúdo que vamos usar é o gradiente e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Escrevemos a reta tangente T em forma paramétrica: o ponto base é gamma(0)=(1,2,5) e o vetor diretor é gamma'(0)=(x'(0),y'(0),z'(0)). Logo,
T:;(x,y,z) =l(1,2,5r)+s,l(x'(0),y'(0),z'(0)r)

Passo 3

Definimos a função
F(x,y,z)=z - f(x,y)=z - (x^2+y^2),
cujo nível F=0 descreve exatamente o gráfico de f. O gradiente de F é
nabla F(x,y,z) =l(-partial fpartial x(x,y),,-partial fpartial y(x,y),,1r) =l(-2x,,-2y,,1r)
Em (1,2,5) isso vale
nabla F(1,2,5)=(-2,-4,1)

Passo 4

Como gamma(t) está no nível F=0, temos F(gamma(t))equiv0. Diferenciando em t e avaliando em t=0, pela regra da cadeia,
0 = ddtFl(gamma(t)r)|t=0 = nabla Fl(gamma(0)r)cdot gamma'(0) =(-2,-4,1)cdotl(x'(0),y'(0),z'(0)r)
Isso mostra que o vetor diretor gamma'(0) é ortogonal ao vetor normal nabla F(1,2,5) do plano.

Passo 5

Como a reta T passa por gamma(0)=(1,2,5) — que satisfaz F=0 — e seu vetor diretor é ortogonal ao normal do plano, concluímos que T está contida nesse plano tangente.

Resposta

A reta tangente T a gamma em (1,2,5) está contida no plano
z - f(1,2) ;=; fx(1,2),(x-1) + fy(1,2),(y-2)

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