Dado o campo escalar (potencial) \varphi(x, y, z)=x \sin z+y \sin x+z \sin y, calcule o campo vetorial
\vec{F}=\vec{\nabla} \varphi

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial escalar \varphi(x,y,z)=x\sin z+y\sin x+z\sin y
e pede o campo vetorial \vec{F}=\nabla\varphi. Para isso, vamos usar a definição de gradiente, que diz que
\nabla\varphi = \Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\,\frac{\partial\varphi}{\partial y},\,\frac{\partial\varphi}{\partial z}\Bigr).

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de \varphi em relação a x.
  • De x\sin z surge \sin z (pois \sin z é constante em x).
  • De y\sin x surge y\cos x.
  • De z\sin y surge 0.
    Logo,
\frac{\partial\varphi}{\partial x} = \sin z + y\cos x.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de \varphi em relação a y.
  • De x\sin z surge 0.
  • De y\sin x surge \sin x.
  • De z\sin y surge z\cos y.
    Portanto,
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = \sin x + z\cos y.

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de \varphi em relação a z.
  • De x\sin z surge x\cos z.
  • De y\sin x surge 0.
  • De z\sin y surge \sin y.
    Assim,
\frac{\partial\varphi}{\partial z} = x\cos z + \sin y.

Resposta

\vec{F}(x,y,z)=\nabla\varphi(x,y,z) =\bigl(\sin z + y\cos x,\;\sin x + z\cos y,\;x\cos z + \sin y\bigr).

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