DETERMINE SE CADA INTEGRAL CONVERGENTE ON DIVERGENTE
\int_{0}^{\infty} 2 e^{-x} \operatorname{sen}(x) dx

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{\infty}2e^{-x}\sin(x)\,dx
que é um caso de integral no intervalo não limitado. Vamos ver se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, note que
\bigl|2e^{-x}\sin(x)\bigr|\le2e^{-x}
e
\int_{0}^{\infty}2e^{-x}\,dx =2\Bigl[-e^{-x}\Bigr]_{0}^{\infty} =2(0-(-1))=2<\infty.
Logo a integral original converge absolutamente, portanto converge.

Passo 3

Agora calculamos o valor de
I=\int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin(x)\,dx.
Use integração por partes com u=\sin(x), dv=e^{-x}dx, então du=\cos(x)dx e v=-e^{-x}. Assim
I =\Bigl[-e^{-x}\sin(x)\Bigr]_{0}^{\infty} -\int_{0}^{\infty}(-e^{-x})\cos(x)\,dx =0+\int_{0}^{\infty}e^{-x}\cos(x)\,dx.
Defina
J=\int_{0}^{\infty}e^{-x}\cos(x)\,dx
e faça outra integração por partes com u=\cos(x), dv=e^{-x}dx, obtendo
J =\Bigl[-e^{-x}\cos(x)\Bigr]_{0}^{\infty} -\int_{0}^{\infty}(-e^{-x})(-\,\sin(x))\,dx =1-\int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin(x)\,dx =1-I.
Como vimos I=J, temos
I=1-I \quad\Longrightarrow\quad 2I=1 \quad\Longrightarrow\quad I=\tfrac12.

Passo 4

A integral original é
\int_{0}^{\infty}2e^{-x}\sin(x)\,dx =2I=2\cdot\tfrac12=1.

Resposta

A integral é convergente (até absolutamente convergente) e seu valor é 1.

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