DETERMINE SE CADA INTEGRAL CONVERGENTE ON DIVERGENTE
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. O conteúdo é integração imprópria em intervalos não limitados e usaremos a ideia de partir o domínio em duas partes (à esquerda e à direita de zero) e avaliar limites.
Passo 2
Como o integrando
é contínuo em todo
mas o domínio é ilimitado em
e em
, dividimos
Cada uma dessas integrais é imprópria do tipo “limite quando o ponto de integração vai ao infinito”.
Passo 3
Na parte positiva, para
temos
, então
Sabemos que
. Tomando
dá
Passo 4
Na parte negativa, para
temos
, logo
. Assim
Calculando
. Fazendo
obtém-se
Passo 5
Como ambas as integrais parciais convergem (cada uma vale
), a integral original converge e vale a soma:
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.