DETERMINE SE CADA INTEGRAL CONVERGENTE ON DIVERGENTE
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|} dx

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}\,dx
é convergente ou divergente. O conteúdo é integração imprópria em intervalos não limitados e usaremos a ideia de partir o domínio em duas partes (à esquerda e à direita de zero) e avaliar limites.

Passo 2

Como o integrando e^{-|x|} é contínuo em todo \mathbb{R} mas o domínio é ilimitado em -\infty e em +\infty, dividimos
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}\,dx =\int_{-\infty}^{0} e^{-|x|}\,dx \;+\;\int_{0}^{\infty} e^{-|x|}\,dx.
Cada uma dessas integrais é imprópria do tipo “limite quando o ponto de integração vai ao infinito”.

Passo 3

Na parte positiva, para x\ge0 temos |x|=x, então
\int_{0}^{\infty} e^{-|x|}\,dx =\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}e^{-x}\,dx.
Sabemos que \int_{0}^{b}e^{-x}\,dx=[-e^{-x}]_{0}^{b}=1-e^{-b}. Tomando b\to\infty
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = 1.

Passo 4

Na parte negativa, para x<0 temos |x|=-x, logo e^{-|x|}=e^{x}. Assim
\int_{-\infty}^{0} e^{-|x|}\,dx =\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx =\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}e^{x}\,dx.
Calculando \int_{a}^{0}e^{x}\,dx=[e^{x}]_{a}^{0}=1-e^{a}. Fazendo a\to-\infty obtém-se
\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx = 1.

Passo 5

Como ambas as integrais parciais convergem (cada uma vale 1), a integral original converge e vale a soma:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}\,dx = 1 + 1 = 2.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 2.

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