Sejam
uma função diferenciável, o campo vetorial
e sua norma
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente e o laplaciano de uma função que depende apenas da distância
. O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais e, em seguida, usar a definição de divergência para obter o laplaciano.
Passo 2
Para encontrar
, usamos a regra da cadeia em cada componente. Por exemplo,
Analogamente obtemos
e
. Logo,
Passo 3
Para o laplaciano usamos
. Como
temos
Em cada termo aplicamos o produto de
por
e computamos as derivadas parciais; somando os três dá