Sejam f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável, o campo vetorial \vec{r}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k} e sua norma r \doteq\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Mostre que
\vec{\nabla} f(r)=\frac{f^{\prime}(r)}{r} \vec{r} \quad \text { e } \quad \Delta f(r)=2 \frac{f^{\prime}(r)}{r}+f^{\prime \prime}(r) .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente e o laplaciano de uma função que depende apenas da distância r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais e, em seguida, usar a definição de divergência para obter o laplaciano.

Passo 2

Para encontrar \vec{\nabla}f(r), usamos a regra da cadeia em cada componente. Por exemplo,
\frac{\partial}{\partial x}f(r) = f'(r)\,\frac{\partial r}{\partial x} = f'(r)\,\frac{x}{r}.
Analogamente obtemos \partial f/\partial y=f'(r)\,y/r e \partial f/\partial z=f'(r)\,z/r. Logo,
\vec{\nabla}f(r) =\Bigl(f'(r)\tfrac{x}{r},\,f'(r)\tfrac{y}{r},\,f'(r)\tfrac{z}{r}\Bigr) =\frac{f'(r)}{r}\,(x,y,z) =\frac{f'(r)}{r}\,\vec r.

Passo 3

Para o laplaciano usamos \Delta f(r)=\nabla\cdot\bigl(\vec{\nabla}f(r)\bigr). Como
\vec{\nabla}f(r) =\bigl(f'(r)\,x/r,\;f'(r)\,y/r,\;f'(r)\,z/r\bigr),
temos
\Delta f(r) =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(f'(r)\,\frac{x}{r}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(f'(r)\,\frac{y}{r}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(f'(r)\,\frac{z}{r}\Bigr).
Em cada termo aplicamos o produto de f'(r) por x/r e computamos as derivadas parciais; somando os três dá
\Delta f(r) = f''(r)\,\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2} +f'(r)\,\frac{3r^2-(x^2+y^2+z^2)}{r^3} = f''(r)+2\,\frac{f'(r)}{r}.

Resposta

\vec{\nabla} f(r)=\frac{f'(r)}{r}\,\vec r \quad\text{e}\quad \Delta f(r)=2\,\frac{f'(r)}{r}+f''(r).

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