Dado o campo \mathbf{H}=20 \rho^{2} \mathbf{a}_{s} \Lambda / \mathrm{m} : (a) Determine a densidade de corrente \mathbf{J}. (b) Integre J sobre a superficie circular \rho \leq 1,0<\mathrm{o}<2 \pi, \mathrm{z}=0, para determinar a corrente total que passa pela superfície na direção \mathbf{a}_{2}. (c) Calcule a corrente total mais uma vez, desta vez por uma integral de linha em volta do caminho circular \rho=1,0<\sigma<2 \pi, z=0.

Passo 1

O enunciado dá o campo de intensidade magnética em coordenadas cilíndricas \mathbf{H}=20\,\rho^{2}\,\mathbf{a}_{\varphi} A/m e pede:
(a) a densidade de corrente \mathbf{J} usando a forma diferencial da lei de Ampère;
(b) a corrente total atravessando a superfície circular \rho\le1,\;0<\varphi<2\pi,\;z=0;
(c) a mesma corrente obtida por integral de linha ao longo do contorno \rho=1,\;0<\varphi<2\pi,\;z=0.

Passo 2

Usamos a lei de Ampère em forma diferencial
\nabla\times\mathbf{H} \;=\;\mathbf{J}
e a expressão do rotacional em coordenadas cilíndricas, cuja componente z é
(\nabla\times\mathbf{H})_{z} =\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\bigl(\rho\,H_{\varphi}\bigr) -\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial H_{\rho}}{\partial \varphi}.
Aqui H_{\rho}=0, H_{\varphi}=20\,\rho^{2}, H_{z}=0, logo o único termo não nulo é
J_{z} =\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\bigl(20\,\rho^{3}\bigr) =\frac{60\,\rho^{2}}{\rho} =60\,\rho.

Passo 3

Portanto a densidade de corrente é
\mathbf{J}=60\,\rho\;\mathbf{a}_{z}\quad(\text{A/m}^{2}).

Passo 4

A corrente total pela superfície S (plano z=0, normal \mathbf{a}_{z}) é
I =\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}60\,\rho\;(\rho\,d\rho\,d\varphi) =60\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{1}\rho^{2}d\rho =60\cdot2\pi\cdot\frac{1}{3} =40\pi\;\text{A}.

Passo 5

Pelo teorema integral de Ampère, a mesma corrente é dada por
I =\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} =\int_{0}^{2\pi}20\,(1)\,d\varphi =20\cdot2\pi =40\pi\;\text{A},
onde em C temos \rho=1 e d\mathbf{l}=\rho\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}=d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}.

Resposta

(a) \displaystyle\mathbf{J}=60\,\rho\,\mathbf{a}_{z} A/m ^2.
(b) \displaystyle I=40\pi A.
(c) \displaystyle I=40\pi A.

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