Dado um campo magnético na forma:
\vec{H}=300 \cos \left(3 \times 10^{\mathrm{s}} t-y\right) \hat{a_{z}} A / m
No espaço livre, calcule a fem desenvolvida na direção e sentido genérico \hat{a}_{\varphi} ao longo de um caminho fechado que possui o seguinte domínio:
D=0 \leq \theta \leq 2 \pi

Passo 1

Temos um campo de intensidade magnética
\vec H(\,y,t)=300\cos\bigl(\omega t - y\bigr)\,\hat a_z\quad\text{com}\;\omega=3\times10^{\mathrm{s}}\quad(A/m)
e queremos a fem induzida ao longo de um caminho fechado de coordenada angular \varphi variando de 0 a 2\pi num plano de raio genérico r. Em espaço livre, vale
\vec B=\mu_0\,\vec H
e a lei de Faraday em forma integral é
\oint_{\mathcal C}\vec E\cdot d\vec\ell \;=\;-\,\frac{d}{dt}\!\int_{S}\vec B\cdot d\vec S.

Passo 2

Escolhendo S como o disco de raio r no plano z=\text{const}, o vetor normal é \hat n=\hat a_z e
B_z=\mu_0\,300\cos(\omega t - y).
O fluxo magnético através de S é
\Phi_B=\int_{S}B_z\,dS =\mu_0\;300\cos(\omega t - y)\;\pi\,r^2.

Passo 3

Derivando o fluxo em relação ao tempo e aplicando a lei de Faraday:
\mathcal E =\oint_{\mathcal C}\vec E\cdot d\vec\ell =-\frac{d\Phi_B}{dt} =-\mu_0\,300\;\pi\,r^2\;\bigl[-\omega\sin(\omega t - y)\bigr] =\mu_0\,300\,\omega\,\pi\,r^2\;\sin(\omega t - y).
Como \vec E só tem componente tangencial \hat a_\varphi e d\ell=r\,d\varphi\,\hat a_\varphi, esse resultado já é o valor escalar da fem no sentido \hat a_\varphi.

Resposta

\boxed{ \mathcal E =\mu_0\,300\,\omega\,\pi\,r^2\;\sin\bigl(\omega t - y\bigr) \quad\text{na direção}\;\hat a_\varphi. }çã

Exercícios relacionados