Sejam os conjuntos de vetores abaixo. Demonstre se os mesmos sảo espaços vetoriais. No(s) caso(s) em que algum(ns) conjunto(s) for(em) espaço(s) vetorial(is), encontre uma base para este(s) espaço(s) e determine a dimensão do(s) mesmo(s).
A=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & b\end{array}\right] \in M_{2 \times 2} \right\rvert\, 2 a-b=0 \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \left\{\begin{pmatrix}a & 0 \\[0.3em]0 & b\end{pmatrix}\in M_{2\times2}\mid 2a - b = 0\right\}.
Queremos verificar se A é subespaço vetorial de M_{2\times2} (com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar). Em caso afirmativo, devemos encontrar uma base de A e determinar sua dimensão. Para isso, vamos usar o teste de subespaço vetorial: mostrar que o vetor zero está em A, que A é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 2

Verificamos que o zero de M_{2\times2} pertence a A. De fato, tomando a=0 e b=0 temos
2\cdot0 - 0 = 0,
logo
\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\in A.

Passo 3

Mostramos que A é fechado sob soma. Sejam
M_1 = \begin{pmatrix}a_1 & 0\\\ 0 & b_1\end{pmatrix},\quad M_2 = \begin{pmatrix}a_2 & 0\\\ 0 & b_2\end{pmatrix}
em A, ou seja, 2a_1 - b_1 = 0 e 2a_2 - b_2 = 0. Então
M_1 + M_2 = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & 0\\[0.3em]0 & b_1+b_2\end{pmatrix}.
Como
2(a_1+a_2) - (b_1+b_2) = (2a_1 - b_1) + (2a_2 - b_2) = 0 + 0 = 0,
segue que M_1+M_2\in A.]

Passo 4

Mostramos que A é fechado sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e
M = \begin{pmatrix}a & 0\\\ 0 & b\end{pmatrix}\in A,
com 2a - b = 0. Então
\lambda M = \begin{pmatrix}\lambda a & 0\\[0.3em]0 & \lambda b\end{pmatrix}
e
2(\lambda a) - (\lambda b) = \lambda\,(2a - b) = \lambda\cdot 0 = 0,
logo \lambda M\in A.]

Passo 5

Como A é não vazio e fechado sob soma e produto escalar, A é subespaço vetorial de M_{2\times2}. A condição 2a-b=0 implica b=2a, de modo que todo elemento de A pode ser escrito como
\begin{pmatrix}a & 0\\\ 0 & b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & 0\\\ 0 & 2a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
Portanto A é o conjunto de todos os múltiplos escalares do único vetor \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&2\end{pmatrix}. Logo uma base de A é
\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix}\right\}
e a dimensão de A é 1.

Resposta

O conjunto A é um subespaço vetorial de M_{2\times2}.
Uma base de A é \bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&2\end{pmatrix}\bigr\} e \dim(A)=1.\

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