Sejam os conjuntos de vetores abaixo. Demonstre se os mesmos sảo espaços vetoriais. No(s) caso(s) em que algum(ns) conjunto(s) for(em) espaço(s) vetorial(is), encontre uma base para este(s) espaço(s) e determine a dimensão do(s) mesmo(s). A=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & b\end{array}\right] \in M_{2 \times 2} \right\rvert\, 2 a-b=0 \in \mathbb{R}\right\}
Passo 1
O enunciado define o conjunto
A = \left\{\begin{pmatrix}a & 0 \\[0.3em]0 & b\end{pmatrix}\in M_{2\times2}\mid 2a - b = 0\right\}.
Queremos verificar se A é subespaço vetorial de M_{2\times2} (com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar). Em caso afirmativo, devemos encontrar uma base de A e determinar sua dimensão. Para isso, vamos usar o teste de subespaço vetorial: mostrar que o vetor zero está em A, que A é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.]
Passo 2
Verificamos que o zero de M_{2\times2} pertence a A. De fato, tomando a=0 e b=0 temos
Mostramos que A é fechado sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e
M = \begin{pmatrix}a & 0\\\ 0 & b\end{pmatrix}\in A,
com 2a - b = 0. Então
\lambda M = \begin{pmatrix}\lambda a & 0\\[0.3em]0 & \lambda b\end{pmatrix}
e
2(\lambda a) - (\lambda b) = \lambda\,(2a - b) = \lambda\cdot 0 = 0,
logo \lambda M\in A.]
Passo 5
Como A é não vazio e fechado sob soma e produto escalar, A é subespaço vetorial de M_{2\times2}. A condição 2a-b=0 implica b=2a, de modo que todo elemento de A pode ser escrito como