Dado o campo magnético:
B=a cos (b x) i+a b y sin (b x) j
Podemos considerá-lo um campo real? Aplique a lei de Gauss para o magnetismo na forma diferencial e interprete o resultado obtido

Passo 1

O enunciado nos dá o campo magnético
B(x,y)=acosl(bxr),i+a,b,ysinl(bxr),j
e pergunta se ele pode ser um campo real, aplicando a forma diferencial da lei de Gauss para o magnetismo. O conteúdo necessário é a equação de Maxwell
nablacdotB=0
que expressa a ausência de monopólos magnéticos.

Passo 2

Vamos calcular a divergência de B. Lembrando que
nablacdotB=partial Bxpartial x+partial Bypartial y+partial Bzpartial z,
e aqui Bz=0, temos:
partial Bxpartial x =partialpartial xl(acos(bx)r) =-a,b,sin(bx),
partial Bypartial y =partialpartial yl(a,b,ysin(bx)r) =a,b,sin(bx)
Somando,
nablacdotB =-a,b,sin(bx)+a,b,sin(bx)=0

Passo 3

Como nablacdotB=0 em todo ponto do espaço, o campo satisfaz a lei de Gauss para o magnetismo na forma diferencial. Isso significa que não há “fontes” ou “sumidouros” magnéticos (monopólos) gerando ou absorvendo linhas de campo.

Resposta

Sim. O campo B é fisicamente admissível porque nablacdotB=0, conforme exige a lei de Gauss para o magnetismo (não existem monopólos magnéticos).

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