Verifique se a expressão (em coordenadas cilíndricas) para um campo magnético produzido a partir de um fio infinito percorrido por corrente dado por:
B=mu0 i2 pi r phi=(0, mu0 i2 pi r, 0)
é um campo real. Aplique a lei de Gauss para o magnetismo na forma diferencial e interprete o resultado obtido.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo magnético em coordenadas cilíndricas gerado por um fio infinito percorrido por corrente i:
B(r,phi,z)=mu0,i2pi,r,hatphi,,
e pede para verificar se esse campo é “real” aplicando a lei de Gauss para o magnetismo na forma diferencial, ou seja, a equação de Maxwell
nablacdotB=0

Passo 2

A lei de Gauss para o magnetismo em forma diferencial afirma que o campo magnético é solenoidal, sem “fontes” nem “sumidouros”:
nablacdotB=0
Em coordenadas cilíndricas (r,phi,z) a divergência de um campo
B=(Br,Bphi,Bz) é dada por
nablacdotB =1r,partialpartial rl(r,Brr) +1r,partial Bphipartialphi +partial Bzpartial z

Passo 3

Para o nosso campo temos
Br=0, Bphi=mu0,i2pi,r, Bz=0
Calculando cada termo:
  1. 1rpartialpartial r(r,Br) =1rpartialpartial r(0)=0
  2. 1rpartial Bphipartialphi =1rcdot 0=0 (pois Bphi não depende de phi).
  3. partial Bzpartial z =partial 0partial z=0
    Somando, obtemos
nablacdotB=0(para rneq0)

Passo 4

No eixo r=0 o campo é singular e a fórmula da divergência clássica não se aplica diretamente, mas isso reflete apenas a presença da corrente concentrada no fio, não monopólios magnéticos. Fora do eixo, o campo é perfeitamente solenoidal.

Passo 5

Interpretando, o resultado nablacdotB=0 confirma que não existem cargas magnéticas (monopólios) e que as linhas de B são fechadas em torno do fio. Isso garante que a expressão dada descreve um campo magnético “real” e consistente com a lei de Gauss para o magnetismo.

Resposta

O campo satisfaz
nablacdotB=0
para todo rneq0, logo é solenoidal e consistente com a lei de Gauss para o magnetismo (sem monopólios), caracterizando um campo real e fisicamente admissível.

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