Verifique se a expressão (em coordenadas cilíndricas) para um campo magnético produzido a partir de um fio infinito percorrido por corrente dado por:
é um campo real. Aplique a lei de Gauss para o magnetismo na forma diferencial e interprete o resultado obtido.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo magnético em coordenadas cilíndricas gerado por um fio infinito percorrido por corrente
:
e pede para verificar se esse campo é “real” aplicando a lei de Gauss para o magnetismo na forma diferencial, ou seja, a equação de Maxwell
Passo 2
A lei de Gauss para o magnetismo em forma diferencial afirma que o campo magnético é solenoidal, sem “fontes” nem “sumidouros”:
Em coordenadas cilíndricas
a divergência de um campo
é dada por
Passo 3
Para o nosso campo temos
Calculando cada termo:
-
-
(pois não depende de ). -
Somando, obtemos
Passo 4
No eixo
o campo é singular e a fórmula da divergência clássica não se aplica diretamente, mas isso reflete apenas a presença da corrente concentrada no fio, não monopólios magnéticos. Fora do eixo, o campo é perfeitamente solenoidal.
Passo 5
Interpretando, o resultado
confirma que não existem cargas magnéticas (monopólios) e que as linhas de
são fechadas em torno do fio. Isso garante que a expressão dada descreve um campo magnético “real” e consistente com a lei de Gauss para o magnetismo.
Resposta
O campo satisfaz
para todo
, logo é solenoidal e consistente com a lei de Gauss para o magnetismo (sem monopólios), caracterizando um campo real e fisicamente admissível.