Sejam os conjuntos de vetores abaixo. Demonstre se os mesmos sảo espaços vetoriais. No(s) caso(s) em que algum(ns) conjunto(s) for(em) espaço(s) vetorial(is), encontre uma base para este(s) espaço(s) e determine a dimensão do(s) mesmo(s).
B=\left\{\left.\left[\begin{array}{c}2 w \\\\ -s+t \\\\ 2 w+3 t \\\ s-w\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4} \right\rvert\, s, t, w \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado define o conjunto
B = \left\{\begin{pmatrix}2w\\\ -s+t\\\ 2w+3t\s-w\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4 \mid s,t,w\in\mathbb{R}\right\}
e pede para verificar se B é um espaço vetorial (isto é, subespaço de \mathbb{R}^4), e em caso afirmativo encontrar uma base e a dimensão. Vamos usar o critério de subespaço (presença do vetor zero, fechamento para soma e para multiplicação escalar) e, em seguida, expressar os vetores de B como combinações lineares para extrair base e dimensão.

Passo 2

Mostramos que B é subespaço de \mathbb{R}^4.
  1. O vetor zero está em B pois para s=0, t=0, w=0 obtemos
\begin{pmatrix}2\cdot0\\\ -0+0\\\ 2\cdot0+3\cdot0\\\ 0-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. Se \displaystyle u=\begin{pmatrix}2w_1\\\ -s_1+t_1\\\ 2w_1+3t_1\s_1-w_1\end{pmatrix} e \displaystyle v=\begin{pmatrix}2w_2\\\ -s_2+t_2\\\ 2w_2+3t_2\s_2-w_2\end{pmatrix} estão em B, então para qualquer escalar \lambda \lambda u+v corresponde a parâmetros \lambda s_1+s_2, \lambda t_1+t_2, \lambda w_1+w_2,
    logo \lambda u+v também tem a forma exigida e pertence a B.
Portanto B é um subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 3

Para extrair uma base, escrevemos o vetor genérico de B como combinação linear de vetores independentes. Dados s,t,w,
\begin{pmatrix}2w\\\ -s+t\\\ 2w+3t\s-w\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix} + w\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.
Isto mostra que
B = \Span\left\{ \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix} \right\}.

Passo 4

Verificamos que os três vetores \displaystyle v_1=(0,-1,0,1)^T, \displaystyle v_2=(0,1,3,0)^T e \displaystyle v_3=(2,0,2,-1)^T
são linearmente independentes.
Se a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = 0, as componentes dão
2c=0,\;-a+b=0,\;3b+2c=0,\;a-c=0
que implicam c=0, b=0, a=0. Logo só a combinação trivial anula, e os vetores são independentes.

Passo 5

Como B é gerado por três vetores independentes, concluímos que
\dim(B) = 3
e que \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de B.

Resposta

B é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.
Uma base é
\left\{ \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix} \right\},
e \dim(B)=3.

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