Dado um campo vetorial
, avalie a integral de linha escalar
do ponto
ao ponto
:
Verifique também se o campo
é conservativo.
Verifique também se o campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha do campo vetorial
, indo do ponto
até o ponto
. Além disso, precisamos verificar se esse campo
é conservativo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma maneira de somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de um caminho específico. No nosso caso, queremos somar o campo
ao longo do caminho de
a
.
Passo 3
Como o campo
só tem componentes em
e
, e o
permanece constante (-1), podemos simplificar nosso cálculo considerando apenas o plano
.
Passo 4
Agora, para facilitar, vamos escolher um caminho retilíneo de
a
. Isso simplifica os cálculos porque podemos parametrizar o caminho de forma linear. Vamos chamar nossas coordenadas de
e
, onde
varia de 0 a 1.
Passo 5
Vamos definir a parametrização:
-
-
-
(constante)
Passo 6
Agora, precisamos calcular
, que é o vetor diferencial ao longo do caminho. Isso são as derivadas de
e
em relação a
multiplicadas por
:
Então,
Passo 7
Vamos substituir as parametrizações no campo
:
Então,
Passo 8
A integral de linha é dada por
. Vamos calcular o produto escalar:
Passo 9
Agora, integramos de
a
:
Passo 10
Agora, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Além disso, em duas dimensões, se a derivada cruzada das componentes for igual, ou seja,
.
Calculando:
Como são iguais, o campo
é conservativo.
Resposta
A integral de linha vale 14 e o campo
é conservativo.