Dado um campo vetorial E=y i+x j, avalie a integral de linha escalar integral E cdot d ell do ponto P1(2,1,-1) ao ponto P2(8,2,-1):
Verifique também se o campo E é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha do campo vetorial E = y i + x j, indo do ponto P1(2,1,-1) até o ponto P2(8,2,-1). Além disso, precisamos verificar se esse campo E é conservativo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma maneira de somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de um caminho específico. No nosso caso, queremos somar o campo E ao longo do caminho de P1 a P2.

Passo 3

Como o campo E = y i + x j só tem componentes em x e y, e o z permanece constante (-1), podemos simplificar nosso cálculo considerando apenas o plano xy.

Passo 4

Agora, para facilitar, vamos escolher um caminho retilíneo de P1 a P2. Isso simplifica os cálculos porque podemos parametrizar o caminho de forma linear. Vamos chamar nossas coordenadas de x(t) e y(t), onde t varia de 0 a 1.

Passo 5

Vamos definir a parametrização:
  • x(t) = 2 + (8 - 2)t = 2 + 6t
  • y(t) = 1 + (2 - 1)t = 1 + t
  • z(t) = -1 (constante)

Passo 6

Agora, precisamos calcular dell, que é o vetor diferencial ao longo do caminho. Isso são as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t multiplicadas por dt:
  • dx = 6 dt
  • dy = 1 dt
  • dz = 0
Então, dell = 6 i dt + 1 j dt

Passo 7

Vamos substituir as parametrizações no campo E:
  • Ex = y = 1 + t
  • Ey = x = 2 + 6t
Então, E = (1 + t) i + (2 + 6t) j

Passo 8

A integral de linha é dada por integral E cdot dell. Vamos calcular o produto escalar:
E cdot dell = (1 + t) cdot 6 + (2 + 6t) cdot 1 = 6(1 + t) + (2 + 6t) = 6 + 6t + 2 + 6t = 8 + 12t

Passo 9

Agora, integramos de t=0 a t=1:
integral0^1 (8 + 12t) dt = [8t + 6t^2]0^1 = (8 cdot 1 + 6 cdot 1) - (0 + 0) = 14

Passo 10

Agora, vamos verificar se o campo E é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial phi tal que E = nabla phi. Além disso, em duas dimensões, se a derivada cruzada das componentes for igual, ou seja, partial Expartial y = partial Eypartial x.
Calculando:
  • partial Expartial y = partial ypartial y = 1
  • partial Eypartial x = partial xpartial x = 1
Como são iguais, o campo E é conservativo.

Resposta

A integral de linha vale 14 e o campo E é conservativo.

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