Seja D=(x, y): x^2+y^2<1 / 2 e seja f(x, y)=x^2 y^2-x^3-2 x+y^2.
Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela de fem D, se existirem.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função f(x,y)=x2y2–x3–2x+y2 no domínio D={(x,y): x2+y2<1/2}. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de f, resolver ∇f=0 para achar pontos críticos e, se existirem, classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
f_x=∂f/∂x=2xy2–3x2–2
f_y=∂f/∂y=2x2y+2y=2y(x2+1)
Para encontrar pontos críticos, igualamos f_x=0 e f_y=0.

Passo 3

Da equação f_y=0 temos 2y(x^2+1)=0. Como x^2+1>0 sempre, segue que y=0. Substituindo em f_x=0 obtemos:
–3x^2–2=0 ⇒ x^2=–2/3, que não tem solução real.

Passo 4

Não há pontos críticos reais em D. Portanto, f não possui máximos locais, mínimos locais nem pontos de sela dentro de D.

Resposta

Não existem máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela de f em D.

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