Determine os pontos em que a função f(x, y)=x-yx^2+y^2 é descontínua.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos em que a função
f(x,y)=x-yx^2+y^2
é descontínua.
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, e vamos precisar analisar o domínio de f e usar a propriedade de que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não zera.

Passo 2

Determinar o domínio de f. O denominador x^2+y^2 anula-se exatamente quando
x^2+y^2=0Long<=ftrightarrow x=0 e y=0
Logo, o domínio de f é
(x,y)inR^2mid x^2+y^2neq0=R^2setminus(0,0)

Passo 3

Usar a teoria de funções racionais: se g(x,y) e h(x,y) são polinômios e h(x0,y0)neq0, então
g(x,y)h(x,y)
é contínua em (x0,y0). Aqui g(x,y)=x-y e h(x,y)=x^2+y^2, polinômios cujo quociente só falha em ser definido (e portanto contínuo) onde h=0. Assim, f é contínua em todo ponto do seu domínio, isto é, em todo (x,y)neq(0,0).

Passo 4

Concluir sobre a continuidade em (0,0). Como (0,0) não pertence ao domínio de f, a função não está definida ali e, por consequência, não pode ser contínua em (0,0). Esse é o único ponto de descontinuidade de f.

Resposta

A função f é descontínua apenas em (0,0).

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