Dado o campo vetorial F=-y i+x j, determine integralC F cdot d r ao longo da curva C :
(1,0) C: y=x^3 de (0,0) até (2,8).

Passo 1

Estamos calculando a integral de linha de F=-y,i+x,j ao longo da curva C:y=x^3 de (0,0) até (2,8). O conteúdo é integral de linha de campo vetorial, e vamos precisar parametrizar a curva, calcular dr e usar produto escalar.

Passo 2

Parametrizamos a curva escolhendo x=t e y=t^3. Assim temos
r(t)=(t,,t^3), 0<= t<=2

Passo 3

Calculamos a derivada de r(t) para obter dr:
r'(t)=(1,,3t^2), dr=(1,,3t^2),dt

Passo 4

Avaliamo\s F no ponto r(t):
F(r(t))=(-t^3,,t)

Passo 5

Fazemos o produto escalar entre F(r(t)) e r'(t):
F(r(t))cdotr'(t)=(-t^3)cdot1+ tcdot3t^2=-t^3+3t^3=2t^3

Passo 6

Agora integramos de t=0 a t=2:
integralCFcdot dr=integral0^2 2t^3,dt=2integral0^2 t^3,dt=2[t^44]0^2=2cdot164=8

Resposta

8

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