Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções:
g(x)=sen(x2) ; c=pi ; n=8

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n=8 da função
g(x)=sin!l(tfracx2r)
em torno do ponto c=pi.
Para resolver, vamos usar a definição de Taylor centrada em x=pi, mas antes simplificamos a função usando uma mudança de variável e uma fórmula de ângulo.

Passo 2

Defina a variável de desvio
h = x - pi
Então
g(x) = sin!l(x2r) = sin!l(pi + h2r)

Passo 3

Usando a identidade de soma de ângulos
sin!l(tfracpi2 + tr) = cos(t),
com t = h/2, obtemos
g(x)=sin!l(pi2 + h2r) =cos!l(h2r)

Passo 4

Sabemos que a expansão de Taylor (Maclaurin) de cos(t) em t=0 é
cos(t)=sumk=0^infty(-1)^kt^2k(2k)!
Substituindo t = tfrach2 = tfracx-pi2 e truncando em k=4 (pois 2cdot4=8), a série para g(x) ao redor de x=pi fica
T8(x) =sumk=0^4(-1)^kl(tfracx-pi2r)^2k(2k)! =sumk=0^4(-1)^k(x-pi)^2k(2k)!,2^2k

Passo 5

Escrevendo termo a termo, temos
T8(x) =1 -(x-pi)^22!,2^2 +(x-pi)^44!,2^4 -(x-pi)^66!,2^6 +(x-pi)^88!,2^8

Passo 6

Bastam simplificar os denominadores:
2!,2^2=8, 4!,2^4=24cdot16=384, 6!,2^6=720cdot64=46080, 8!,2^8=40320cdot256=10321920
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T8(x) =1 -(x-pi)^28 +(x-pi)^4384 -(x-pi)^646080 +(x-pi)^810321920

Resposta

T8(x) =1 -(x-pi)^28 +(x-pi)^4384 -(x-pi)^646080 +(x-pi)^810321920

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