Dado o campo vetorial F=3 x^2 i+2 y j+z^2 k, calcule a integral de linha de F ao longo de uma curva C que vai do ponto A(1,0,0) até o ponto B(0,1,1).
Determine o trabalho realizado pelo campo F ao longo da curva C.

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito: temos um campo vetorial F = 3x^2 i + 2y j + z^2 k e queremos calcular a integral de linha desse campo ao longo de uma curva C que vai do ponto A(1,0,0) até o ponto B(0,1,1). Isso está relacionado à matéria de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo de integrais de linha e trabalho realizado por campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, ou seja, F = nabla f. Para isso, precisamos calcular o rotor de F e ver se ele é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotor de F:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Substituindo os componentes de F:
partial Fzpartial y = 0, partial Fypartial z = 0
partial Fxpartial z = 0, partial Fzpartial x = 0
partial Fypartial x = 0, partial Fxpartial y = 0
Então:
nabla times F = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Como o rotor é zero, o campo F é conservativo.

Passo 4

Como F é conservativo, podemos encontrar uma função potencial f tal que F = nabla f. Para isso, vamos integrar cada componente de F em relação à sua variável correspondente:
f(x,y,z) = integral 3x^2 dx + integral 2y dy + integral z^2 dz = x^3 + y^2 + 13 z^3 + C
Onde C é a constante de integração, que podemos ignorar ao calcular a diferença.

Passo 5

Agora, para calcular a integral de linha, basta avaliar a função potencial nos pontos final e inicial e subtrair:
Integral = f(B) - f(A)
Calculando f(B):
f(0,1,1) = 0^3 + 1^2 + 13 cdot 1^3 = 0 + 1 + 13 = 43
Calculando f(A):
f(1,0,0) = 1^3 + 0^2 + 13 cdot 0^3 = 1 + 0 + 0 = 1

Resposta

O trabalho realizado pelo campo F ao longo da curva C é:
43 - 1 = 13

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