Dado o campo vetorial
, calcule a integral de linha de
ao longo de uma curva
que vai do ponto
até o ponto
.
Determine o trabalho realizado pelo campo
ao longo da curva
.
Determine o trabalho realizado pelo campo
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito: temos um campo vetorial
e queremos calcular a integral de linha desse campo ao longo de uma curva
que vai do ponto
até o ponto
. Isso está relacionado à matéria de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo de integrais de linha e trabalho realizado por campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, ou seja,
. Para isso, precisamos calcular o rotor de
e ver se ele é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotor de
:
Substituindo os componentes de
:
Então:
Como o rotor é zero, o campo
é conservativo.
Passo 4
Como
é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que
. Para isso, vamos integrar cada componente de
em relação à sua variável correspondente:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar ao calcular a diferença.
Passo 5
Agora, para calcular a integral de linha, basta avaliar a função potencial nos pontos final e inicial e subtrair:
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo
ao longo da curva
é: