Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
3 d yd x+12 y=4 -infty<x<infty

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação linear de primeira ordem
3dydx+12y=4, -infty<x<infty
usando o método do fator integrante. Vamos transformar na forma padrão e aplicar o procedimento de fator integrante.

Passo 2

Dividimos por 3 para obter a forma
dydx+4y=43
Aqui identificamos p(x)=4 e q(x)=4/3.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral 4,dx=e^4x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^4x:
e^4xdydx+4e^4xy=43e^4x
O lado esquerdo é a derivada de mu(x)y, pois
ddxl(e^4xyr)=e^4xdydx+4e^4xy
Logo obtemos
ddxl(e^4xyr)=43e^4x

Passo 5

Integrando em x:
e^4xy=integral43e^4x,dx=43cdot14e^4x+C=13e^4x+C
Isolando y, vem
y=13+Ce^-4x,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x)=13+Ce^-4x

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