Dado o campo vetorial f(x, y, z) = x^3i + xyzj + z²k, calcular divf.

Passo 1

E aí! Vamos resolver juntos esse exercício de cálculo vetorial. A questão pede para calcular a divergência de um campo vetorial dado por $ \mathbf{f}(x, y, z) = x^3,\mathbf{i} + xyz,\mathbf{j} + z^2,\mathbf{k} $. Para isso, vamos precisar entender o que é divergência e como aplicá-la a um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial $ \mathbf{f} = f_1,\mathbf{i} + f_2,\mathbf{j} + f_3,\mathbf{k} $ é uma operação matemática que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto específico. A fórmula para calcular a divergência é:
f = f1,i + f2,j + f3,k

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial $ \mathbf{f}(x, y, z) = x^3,\mathbf{i} + xyz,\mathbf{j} + z^2,\mathbf{k} $:
  • $ f_1 = x^3 $
  • $ f_2 = xyz $
  • $ f_3 = z^2 $

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial necessária para a divergência:
  1. Derivada de $ f_1 $ em relação a $ x $:
f1
  1. Derivada de $ f_2 $ em relação a $ y $:
x
  1. Derivada de $ f_3 $ em relação a $ z $:
partial f1partial x = partialpartial x (x^3) = 3x^2

Passo 5

Agora, vamos somar essas derivadas parciais conforme a fórmula da divergência:
div,f = 3x^2 + xz + 2z

Resposta

A divergência do campo vetorial $ \mathbf{f}(x, y, z) $ é:
f(x, y, z)

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