Dado o campo vetorial f(x,y,z) = x2i + yzj + 2z3k, calcular a divf.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial definido por $ \mathbf{f}(x,y,z) = x^2,\mathbf{i} + yz,\mathbf{j} + 2z^3,\mathbf{k} $ e precisa calcular a divergência desse campo, que é notada por $ div,\mathbf{f} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente como calcular a divergência de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial $ \mathbf{f} = P,\mathbf{i} + Q,\mathbf{j} + R,\mathbf{k} $ é dada pela seguinte fórmula:
f = P,i + Q,j + R,k
Ou seja, a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes do campo vetorial em relação às suas respectivas variáveis.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial $ \mathbf{f} $:
  • $ P = x^2 $
  • $ Q = yz $
  • $ R = 2z^3 $
Precisamos calcular as derivadas parciais de cada uma dessas componentes.

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial de $ P $ em relação a $ x $:
P
  1. Derivada parcial de $ Q $ em relação a $ y $:
x
  1. Derivada parcial de $ R $ em relação a $ z $:
partial Ppartial x = partialpartial x(x^2) = 2x

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da divergência:
div,f = 2x + z + 6z^2

Resposta

A divergência do campo vetorial $ \mathbf{f}(x,y,z) $ é:
f(x,y,z)

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