Dado o campo vetorial f(x,y,z) = x2i + yzj + 2z3k, calcular a divf.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial definido por $ \mathbf{f}(x,y,z) = x^2,\mathbf{i} + yz,\mathbf{j} + 2z^3,\mathbf{k} $ e precisa calcular a divergência desse campo, que é notada por $ div,\mathbf{f} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente como calcular a divergência de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial $ \mathbf{f} = P,\mathbf{i} + Q,\mathbf{j} + R,\mathbf{k} $ é dada pela seguinte fórmula:
Ou seja, a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes do campo vetorial em relação às suas respectivas variáveis.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial $ \mathbf{f} $:
- $ P = x^2 $
- $ Q = yz $
- $ R = 2z^3 $
Precisamos calcular as derivadas parciais de cada uma dessas componentes.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial de $ P $ em relação a $ x $:
- Derivada parcial de $ Q $ em relação a $ y $:
- Derivada parcial de $ R $ em relação a $ z $:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da divergência:
Resposta
A divergência do campo vetorial $ \mathbf{f}(x,y,z) $ é: