Suponha que um trem esteja a uma velocidade muito próxima à da luz e um passageiro sentado no centro do vagão perceba dois objetos caindo simultaneamente na parte da frente e traseira do mesmo. Mostre que esses eventos não ocorrem simultaneamente para um observador em repouso fora do trem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um trem que tá viajando quase na velocidade da luz. Um passageiro no meio do vagão vê dois objetos caindo ao mesmo tempo na frente e atrás do trem. A gente vai usar a Teoria da Relatividade Especial pra mostrar que, pra alguém que tá parado fora do trem, esses dois eventos não acontecem ao mesmo tempo. Vamos precisar entender como o tempo e o espaço se comportam quando algo se move quase à velocidade da luz.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os dois referenciais:
  • Referencial do trem (S): Onde o passageiro está. Lá, os dois objetos caem simultaneamente na frente e atrás do trem.
  • Referencial externo (S’): Onde o observador está parado fora do trem.

Passo 3

Vamos supor que o trem está se movendo com uma velocidade v em relação ao referencial externo. A Relatividade Especial nos diz que o tempo e o espaço são relativos e dependem do movimento entre os referenciais.

Passo 4

No referencial do trem (S), os dois eventos (os objetos caindo) ocorrem simultaneamente, ou seja, t₁ = t₂. Mas eles acontecem em posições diferentes: um na frente e outro atrás do trem.

Passo 5

Para achar como esses eventos são vistos no referencial externo (S’), usamos a Transformação de Lorentz. A fórmula para o tempo é:
t' = gamma (t - v xc^2)
Onde:
  • gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o fator de Lorentz
  • v é a velocidade do trem
  • x é a posição do evento no referencial do trem
  • c é a velocidade da luz

Passo 6

Vamos aplicar essa fórmula para os dois eventos:
  1. Evento 1 (frente do trem): Vamos chamar a posição de x1
  2. Evento 2 (traseira do trem): Posição de x2
Como t₁ = t₂, ao aplicar a transformação de Lorentz:
t'1 = gamma (t - v x1c^2)
t'2 = gamma (t - v x2c^2)

Passo 7

A diferença no tempo percebido no referencial externo é:
De
Como x1 neq x2 (um na frente e outro atrás do trem) e v ≠ 0, então De. Ou seja, os eventos não são simultâneos para o observador externo.

Resposta

Os dois objetos que caem simultaneamente no trem não ocorrem ao mesmo tempo para o observador externo, ou seja, os eventos não são simultâneos no referencial em repouso fora do trem.

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