Dado o campo vetorial F(x, y, z)=(e^y) imath+(x e^y+e^z) jmath+(y e^z) k e a curva parametrizada C, sendo o segmento de reta que une os pontos (0,2,0) e (4,0,3), faça o que se pede:
Mostre que o campo vetorial F é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é mostrar que o campo vetorial F(x, y, z)=e^y imath + (x e^y + e^z) jmath + y e^z k é conservativo. Para isso, precisamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial, ou seja, existe uma função escalar cuja derivada dá o campo vetorial. Para provar que F é conservativo, vamos verificar se o rotacional de F é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de F = P imath + Q jmath + R k é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) imath + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) jmath + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Vamos identificar P, Q e R no nosso campo F:
  • P = e^y
  • Q = x e^y + e^z
  • R = y e^z

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. partial Rpartial y = partialpartial y (y e^z) = e^z
  2. partial Qpartial z = partialpartial z (x e^y + e^z) = e^z
  3. partial Ppartial z = partialpartial z (e^y) = 0
  4. partial Rpartial x = partialpartial x (y e^z) = 0
  5. partial Qpartial x = partialpartial x (x e^y + e^z) = e^y
  6. partial Ppartial y = partialpartial y (e^y) = e^y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
nabla times F = (e^z - e^z) imath + (0 - 0) jmath + (e^y - e^y) k = 0 imath + 0 jmath + 0 k = 0

Passo 5

Como o rotacional de F é zero, ou seja, nabla times F = 0, isso nos indica que o campo vetorial F é conservativo, desde que o domínio em que estamos trabalhando seja simplesmente conexo, o que geralmente é o caso em espaços abertos como R^3.

Resposta

Portanto, o campo vetorial F(x, y, z)=e^y imath + (x e^y + e^z) jmath + y e^z k é conservativo.

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