Dado o campo vetorial
e a curva parametrizada
, sendo o segmento de reta que une os pontos
e
, faça o que se pede:
Mostre que o campo vetorial
é conservativo.
Mostre que o campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é mostrar que o campo vetorial
é conservativo. Para isso, precisamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial, ou seja, existe uma função escalar cuja derivada dá o campo vetorial. Para provar que
é conservativo, vamos verificar se o rotacional de
é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de
é dado por:
Vamos identificar
,
e
no nosso campo
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Passo 5
Como o rotacional de
é zero, ou seja,
, isso nos indica que o campo vetorial
é conservativo, desde que o domínio em que estamos trabalhando seja simplesmente conexo, o que geralmente é o caso em espaços abertos como
.
Resposta
Portanto, o campo vetorial
é conservativo.