Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície
, onde
e
é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o teorema do divergente para calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
. A superfície
delimita um sólido que é um cilindro dado por
e entre os planos
e
.
Matéria envolvida: Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss), cálculo de integrais de superfície e integrais triplas.
O que vamos precisar:
- Entender o teorema do divergente.
- Calcular a divergência do campo
. - Configurar e calcular a integral tripla na região delimitada pelo cilindro.
Passo 2
O teorema do divergente relaciona a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada
com uma integral tripla da divergência desse campo sobre o volume
limitado por
. Matemáticamente, é expresso por:
Isso significa que, ao invés de calcular diretamente a integral de superfície, podemos calcular a integral da divergência de
sobre o volume
, que muitas vezes é mais fácil.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de
é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume
. Como o sólido é um cilindro com
e
, é conveniente usar coordenadas cilíndricas
, onde:
Em coordenadas cilíndricas, a divergência fica:
E o elemento de volume é:
Portanto, a integral tripla fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, estabelecemos os limites de integração:
A integral fica:
Podemos separar a integral em duas partes:
Calculando cada parte:
- Primeira parte:
- Segunda parte:
Somando as duas partes:
Resposta
A integral de superfície
vale
.