Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=x^3 imath+y^3 jmath+z^3 k e S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z=0 e z=2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o teorema do divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = x^3 imath + y^3 jmath + z^3 k. A superfície S delimita um sólido que é um cilindro dado por x^2 + y^2 = 1 e entre os planos z = 0 e z = 2.
Matéria envolvida: Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss), cálculo de integrais de superfície e integrais triplas.
O que vamos precisar:
  1. Entender o teorema do divergente.
  2. Calcular a divergência do campo F.
  3. Configurar e calcular a integral tripla na região delimitada pelo cilindro.

Passo 2

O teorema do divergente relaciona a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada S com uma integral tripla da divergência desse campo sobre o volume V limitado por S. Matemáticamente, é expresso por:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Isso significa que, ao invés de calcular diretamente a integral de superfície, podemos calcular a integral da divergência de F sobre o volume V, que muitas vezes é mais fácil.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência de F = Pimath + Qjmath + Rk é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Aplicando isso ao nosso campo:
P = x^3, Q = y^3, R = z^3
Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial x = 3x^2, partial Qpartial y = 3y^2, partial Rpartial z = 3z^2
Portanto,
nabla cdot F = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume V. Como o sólido é um cilindro com x^2 + y^2 <= 1 e 0 <= z <= 2, é conveniente usar coordenadas cilíndricas (r, theta, z), onde:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
Em coordenadas cilíndricas, a divergência fica:
nabla cdot F = 3(r^2 + z^2)
E o elemento de volume é:
dV = r , dr , dtheta , dz
Portanto, a integral tripla fica:
integral triplaV nabla cdot F , dV = 3 integral triplaV (r^2 + z^2) , r , dr , dtheta , dz

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, estabelecemos os limites de integração:
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= 2
A integral fica:
3 integral0^2pi integral0^1 integral0^2 (r^2 + z^2) , r , dz , dr , dtheta
Podemos separar a integral em duas partes:
3 [ integral0^2pi dtheta ] [ integral0^1 r^3 , dr ] [ integral0^2 dz ] + 3 [ integral0^2pi dtheta ] [ integral0^1 r , dr ] [ integral0^2 z^2 , dz ]
Calculando cada parte:
  1. Primeira parte:
3 times 2pi times ( 14 ) times 2 = 3 times 2pi times 14 times 2 = 3 pi
  1. Segunda parte:
3 times 2pi times ( 12 ) times ( 83 ) = 3 times 2pi times 12 times 83 = 8pi
Somando as duas partes:
3pi + 8pi = 11pi

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot dS vale 11pi.

Exercícios relacionados