Determine o trabalho feito pelo campo de força
F(x, y, z)=z imath+x jmath+y k
ao mover uma partícula do ponto (3,0,0) ao ponto (0, pi2, 3) ao longo da hélice x=3 cost ; y=t ; z=3 sent .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o trabalho feito por um campo de força F(x, y, z) = z imath + x jmath + y k ao mover uma partícula do ponto (3, 0, 0) para o ponto (0, pi2, 3) seguindo uma hélice definida por x = 3 cos t, y = t e z = 3. Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho, que envolve calcular uma integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a trajetória da partícula. A hélice é dada por:
x(t) = 3 cos t, y(t) = t, z(t) = 3 sin t
onde t varia de 0 a pi2, já que no início temos z = 0 ( t = 0) e no final z = 3 ( t = pi2).

Passo 3

O próximo passo é encontrar a derivada da posição em relação a t, ou seja, drdt:
dxdt = -3 sin t, dydt = 1, dzdt = 3 cos t
Então,
drdt = (-3 sin t) imath + (1) jmath + (3 cos t) k

Passo 4

Agora, substituímos as parametrizações na expressão do campo F:
F(t) = z(t) imath + x(t) jmath + y(t) k = 3 sin t imath + 3 cos t jmath + t k

Passo 5

Para encontrar o trabalho W, calculamos o produto escalar F cdot drdt e integramos de t = 0 a t = pi2:
W = integral0^pi2 F(t) cdot drdt , dt
Calculando o produto escalar:
F(t) cdot drdt = (3 sin t)(-3 sin t) + (3 cos t)(1) + (t)(3 cos t) = -9 sin^2 t + 3 cos t + 3 t cos t

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
W = integral0^pi2 (-9 sin^2 t + 3 cos t + 3 t cos t) , dt
Vamos resolver cada integral:
  1. integral sin^2 t , dt = t2 - sin(2t)4
  2. integral cos t , dt = sin t
  3. integral t cos t , dt = t sin t + cos t (usando integração por partes)
Substituindo:
W = -9 ( t2 - sin(2t)4 ) + 3 sin t + 3(t sin t + cos t)

Passo 7

Agora, avaliamos a integral de t = 0 a t = pi2:
W = [ -92 t + 94 sin(2t) + 3 sin t + 3 t sin t + 3 cos t ]0^pi2
Calculando em t = pi2:
-92 cdot pi2 + 94 sin(pi) + 3 sin(pi2) + 3 cdot pi2 sin(pi2) + 3 cos(pi2) = -9pi4 + 0 + 3 + 3pi2 + 0 = -3pi4 + 3
E em t = 0:
0 + 0 + 0 + 0 + 3 = 3
Então,
W = ( -3pi4 + 3 ) - 3 = -3pi4

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é -3pi4 unidades de trabalho.

Exercícios relacionados