Determine o trabalho feito pelo campo de força
ao mover uma partícula do ponto
ao ponto
ao longo da hélice
sent .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o trabalho feito por um campo de força
ao mover uma partícula do ponto
para o ponto
seguindo uma hélice definida por
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho, que envolve calcular uma integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a trajetória da partícula. A hélice é dada por:
onde
varia de
a
, já que no início temos
(
) e no final
(
).
Passo 3
O próximo passo é encontrar a derivada da posição em relação a
, ou seja,
:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos as parametrizações na expressão do campo
:
Passo 5
Para encontrar o trabalho
, calculamos o produto escalar
e integramos de
a
:
Calculando o produto escalar:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada integral:
-
-
-
(usando integração por partes)
Substituindo:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral de
a
:
Calculando em
:
E em
:
Então,
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.