Use o teorema do divergente para calcular o fluxo (integral de superfície
), onde
e
é a metade superior da esfera
. Dica: Note que
não é uma superfície fechada. Calcule primeiro as integrais sobre
e
, onde
é o disco
, orientado para baixo, e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve o Teorema da Divergente! A gente precisa calcular o fluxo da integral de superfície
, onde
e
é a metade superior da esfera
.
Como o Teorema da Divergente funciona para superfícies fechadas, mas
não é fechada (é só a parte de cima da esfera), vamos completar a superfície fechando-a com
, que é o disco no fundo da esfera
. Assim, a superfície fechada
é a união de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergente de
, ou seja,
. A divergente é dada por:
Vamos calcular cada termo:
-
-
(já que não depende de ) -
(já que não depende de )
Então, a divergente fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar a divergente sobre o volume limitado por
, que é a esfera completa com raio 1. O volume dessa esfera é conhecido e a integral da divergente será:
Como
em coordenadas esféricas, e o volume da esfera de raio 1 em coordenadas esféricas é:
Calculando a integral:
Multiplicando tudo:
Então, o fluxo sobre
é
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o fluxo sobre
, que é o disco no fundo da esfera
, orientado para baixo. A normal para
aponta na direção negativa de
, ou seja,
.
A integral de superfície fica:
Sabemos que
. Mas em
,
, então:
Então,
Em coordenadas polares:
Calculando:
Então,
Portanto,
Resposta
O fluxo através da superfície
é
.