Use o teorema do divergente para calcular o fluxo (integral de superfície integral duplaS^ e F cdot d S ), onde F(x, y, z)=x z^2 imath+(13 y^3+t g(z)) jmath+(z x^2+y^2) k e S é a metade superior da esfera x^2+y^2+z^2=1. Dica: Note que S não é uma superfície fechada. Calcule primeiro as integrais sobre S1 e S2, onde S1 é o disco x^2+y^2 <= 1, orientado para baixo, e S2=S cup S1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve o Teorema da Divergente! A gente precisa calcular o fluxo da integral de superfície integral duplaS F cdot dS, onde F(x, y, z) = x z^2 imath + (13 y^3 + t g(z)) jmath + (z x^2 + y^2) k e S é a metade superior da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1.
Como o Teorema da Divergente funciona para superfícies fechadas, mas S não é fechada (é só a parte de cima da esfera), vamos completar a superfície fechando-a com S1, que é o disco no fundo da esfera x^2 + y^2 <= 1. Assim, a superfície fechada S2 é a união de S e S1.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergente de F, ou seja, nabla cdot F. A divergente é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada termo:
  • partial Fxpartial x = partialpartial x(x z^2) = z^2
  • partial Fypartial y = partialpartial y(13 y^3 + t g(z)) = y^2 (já que t g(z) não depende de y)
  • partial Fzpartial z = partialpartial z(z x^2 + y^2) = x^2 (já que y^2 não depende de z)
Então, a divergente fica:
nabla cdot F = z^2 + y^2 + x^2

Passo 3

Agora, vamos integrar a divergente sobre o volume limitado por S2, que é a esfera completa com raio 1. O volume dessa esfera é conhecido e a integral da divergente será:
integral triplaV (x^2 + y^2 + z^2) , dV
Como x^2 + y^2 + z^2 = r^2 em coordenadas esféricas, e o volume da esfera de raio 1 em coordenadas esféricas é:
integral triplaV r^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^4 sinphi , dr , dphi , dtheta
Calculando a integral:
integral0^1 r^4 , dr = 15
integral0^pi sinphi , dphi = 2
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
15 times 2 times 2pi = 4pi5
Então, o fluxo sobre S2 é 4pi5.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o fluxo sobre S1, que é o disco no fundo da esfera x^2 + y^2 <= 1, orientado para baixo. A normal para S1 aponta na direção negativa de z, ou seja, n = -k.
A integral de superfície fica:
integral duplaS1 F cdot dS = integral duplaS1 F cdot (-k) , dS = -integral duplaS1 Fz , dS
Sabemos que Fz = z x^2 + y^2. Mas em S1, z = 0, então:
Fz = 0 times x^2 + y^2 = y^2
Então,
integral duplaS1 F cdot dS = -integral duplax^2 + y^2 <= 1 y^2 , dS
Em coordenadas polares:
integral dupla y^2 , dS = integral0^2pi integral0^1 (r sintheta)^2 , r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^3 sin^2theta , dr , dtheta
Calculando:
integral0^1 r^3 , dr = 14
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi
Então,
integral dupla y^2 , dS = 14 times pi = pi4
Portanto,
integral duplaS1 F cdot dS = -pi4

Resposta

O fluxo através da superfície S é 4pi5 + pi4 = 21pi20.

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