Você tem os vetores A=3,0 i-6,0 j e B=-3,5 i+8,0 j. Um terceiro vetor C esta no plano xy. O vetor C é ortogonal ao vetor A, e o produto escalar de C com B é 15,0 . A partir dessas informações, determine os componentes do vetor C.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no plano xy, A = 3,0 i - 6,0 j e B = -3,5 i + 8,0 j. Queremos encontrar um terceiro vetor, C, também no plano xy, que seja ortogonal a A e que o produto escalar de C com B seja 15,0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, como ortogonalidade e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor C com componentes desconhecidas. Como C está no plano xy, podemos escrevê-lo como:
C = x i + y j
onde x e y são as componentes que queremos encontrar.

Passo 3

Sabemos que C é ortogonal a A. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. Então, podemos escrever:
A cdot C = 0
Substituindo os vetores:
(3,0 i - 6,0 j) cdot (x i + y j) = 0
Calculando o produto escalar:
3,0x + (-6,0)y = 0
Ou seja:
3x - 6y = 0 (Equação 1) çã

Passo 4

Também sabemos que o produto escalar de C com B é 15,0:
B cdot C = 15,0
Substituindo os vetores:
(-3,5 i + 8,0 j) cdot (x i + y j) = 15,0
Calculando o produto escalar:
-3,5x + 8,0y = 15,0 (Equação 2) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
3x - 6y = 0 (Equação 1) -3,5x + 8,0y = 15,0 (Equação 2) çãçã
Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de x e y.

Passo 6

Da Equação 1, podemos expressar x em função de y:
3x - 6y = 0 3x = 6y x = 2y

Passo 7

Substituímos o valor de x na Equação 2:
-3,5(2y) + 8,0y = 15,0 -7,0y + 8,0y = 15,0 1,0y = 15,0 y = 15,0

Passo 8

Agora que temos o valor de y, usamos a relação x = 2y para encontrar x:
x = 2 times 15,0 x = 30,0

Resposta

As componentes do vetor C são:
C = 30,0 i + 15,0 j

Exercícios relacionados