Dado o campo vetorial mathbfF=-y i+x j, determine integralC F cdot d r ao longo da curva C :
(1,5 ponto) r(t)=lang<= e^t cos t, e^t sin trang<=, 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r para o campo vetorial F = -y, i + x, j ao longo da curva r(t)=lang<= e^tcos t,,e^tsin trang<=, com 0<= t<=1. O conteúdo aqui é “integrais de linha em campos vetoriais” e vamos precisar: parametrizar F em função de t, computar r'(t), fazer o produto escalar F( r(t))cdot r'(t) e então integrar em [0,1].

Passo 2

Primeiro, substituímos a parametrização na expressão de F, ou seja, em x=e^tcos t e y=e^tsin t. Assim,
Fl( r(t)r)= -l(e^tsin tr), i + l(e^tcos tr), j

Passo 3

Em seguida, derivamos r(t)=lang<= e^tcos t,,e^tsin trang<= em relação a t:
r'(t)=llang<= ddt(e^tcos t),,ddt(e^tsin t)rrang<= = lang<= e^t(cos t - sin t),,e^t(sin t + cos t)rang<=

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar F( r(t))cdot r'(t):
F( r(t))cdot r'(t)&=l[-e^tsin tr]cdotl[e^t(cos t -sin t)r]+l[e^tcos tr]cdotl[e^t(sin t+cos t)r] &= -e^2tsin t(cos t-sin t)+e^2tcos t(sin t+cos t) &=e^2t(sin^2t+cos^2t)=e^2t

Passo 5

Por fim, integrando de 0 a 1:
integral0^1 e^2t,dt = gl[tfrac12e^2tgr]0^1 = 12(e^2-1)

Resposta

e^2-12

Exercícios relacionados