Dado o campo vetorial
,
encontre:
o rotacional
o rotacional
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o rotacional (curl) do campo vetorial F(x,y,z) = (x²–y², sin(x²+y²), arctan
z). Vamos usar cálculo vetorial, mais especificamente a definição de rotacional via derivadas parciais.
z). Vamos usar cálculo vetorial, mais especificamente a definição de rotacional via derivadas parciais.
Passo 2
Identificamos P(x,y,z)=x²–y², Q(x,y,z)=sin(x²+y²) e R(x,y,z)=arctan
z. A fórmula do rotacional é
Passo 3
Para a componente i (primeira): calculamos ∂R/∂y=0 (R não depende de y) e ∂Q/∂z=0 (Q não depende de z). Logo, a componente i é 0−0=0. Para a componente j (segunda): ∂P/∂z=0 e ∂R/∂x=0, dando 0−0=0.
Passo 4
Agora a componente k (terceira): vamos em duas partes. Primeiro, ∂Q/∂x=cos(x²+y²)·2x=2x
cos(x²+y²). Depois, ∂P/∂y=∂(x²−y²)/∂y=−2y. Subtraindo: ∂Q/∂x−∂P/∂y=2x
cos(x²+y²)−(−2y)=2x
cos(x²+y²)+2y.
cos(x²+y²). Depois, ∂P/∂y=∂(x²−y²)/∂y=−2y. Subtraindo: ∂Q/∂x−∂P/∂y=2x
cos(x²+y²)−(−2y)=2x
cos(x²+y²)+2y.
Passo 5
Reunindo tudo, o rotacional é (0,0,2x
cos(x²+y²)+2y).
cos(x²+y²)+2y).