Dado o campo vetorial F(x, y, z)=(x^2-y^2, sin (x^2+y^2), arctan z) encontre:
o rotacional

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o rotacional (curl) do campo vetorial F(x,y,z) = (x²–y², sin(x²+y²), arctan
z). Vamos usar cálculo vetorial, mais especificamente a definição de rotacional via derivadas parciais.

Passo 2

Identificamos P(x,y,z)=x²–y², Q(x,y,z)=sin(x²+y²) e R(x,y,z)=arctan
z. A fórmula do rotacional é ∇×F=(∂R/∂y−∂Q/∂z, ,∂P/∂z−∂R/∂x, ,∂Q/∂x−∂P/∂y)

Passo 3

Para a componente i (primeira): calculamos ∂R/∂y=0 (R não depende de y) e ∂Q/∂z=0 (Q não depende de z). Logo, a componente i é 0−0=0. Para a componente j (segunda): ∂P/∂z=0 e ∂R/∂x=0, dando 0−0=0.

Passo 4

Agora a componente k (terceira): vamos em duas partes. Primeiro, ∂Q/∂x=cos(x²+y²)·2x=2x
cos(x²+y²). Depois, ∂P/∂y=∂(x²−y²)/∂y=−2y. Subtraindo: ∂Q/∂x−∂P/∂y=2x
cos(x²+y²)−(−2y)=2x
cos(x²+y²)+2y.

Passo 5

Reunindo tudo, o rotacional é (0,0,2x
cos(x²+y²)+2y).

Resposta

∇×F(x,y,z)=(0,0,2xcos(x^2+y^2)+2y)

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