Determine a equação da reta que passa pelo ponto (2,2) e é perpendicular à reta x+3 y-1=0.

Passo 1

Neste exercício queremos achar a equação de uma reta perpendicular à reta dada x + 3y - 1 = 0 e que passe pelo ponto (2,2). O conteúdo aqui é geometria analítica, mais especificamente coeficiente angular de retas e retas perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta x + 3y - 1 = 0. Isolando y temos:
3y = -x + 1
y = -tfrac13x + tfrac13
Portanto, o coeficiente angular dessa reta é m1 = -tfrac13.

Passo 3

Para que uma reta seja perpendicular a outra, seus coeficientes angulares satisfazem m1 cdot m2 = -1. Como m1 = -tfrac13, concluímos que m2 = 3.

Passo 4

Agora, usamos a forma ponto-inclinação para a reta procurada, que tem coeficiente angular m2 = 3 e passa por (2,2):
y - 2 = 3(x - 2)
Expandindo e isolando y chegamos em:
y = 3x - 6 + 2
y = 3x - 4

Resposta

y = 3x - 4

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