A questão pede pra gente achar uma função potencial f tal que a campo conversivo vec F=nabla f e depois calcular a integral de linha em C. O conteúdo envolve campos conservativos, potenciais e o Teorema Fundamental do Cálculo para linhas.
Passo 2
Primeiro verificamos quevec F(x,y)=(P,Q) com P=3+2xy e Q=x^2-3y^2 é conservativo porque as derivadas mistas coincidem: partial P/partial y=2x=partial Q/partial x. Então existe f tal que nabla f=vec F.
Passo 3
Para achar f integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral(3+2xy),dx=3x+x^2y+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.
Agora derivamos esse candidato em relação a y e igualamos a Q:
partial fpartial y=x^2+g'(y)=x^2-3y^2
Logo g'(y)=-3y^2 e, ao integrar, g(y)=-y^3+C. Concluímos
f(x,y)=3x+x^2y-y^3+C
Passo 4
Como vec F=nabla f, pela Teorema Fundamental de Cálculo para campos conservativos:
integralCvec Fcdot dvec r=fl(r(pi)r)-fl(r(0)r)
Passo 5
O parâmetro dá r(0)=(0,1) e r(pi)=(0,-e^pi). Substituindo em f: