Dado o campo vetorial r=e^t sin t i+e^t cos t j e a curva 0 <= t <= pi, f.
a) Determine uma função F=nabla f tal que integralC F cdot d r.
b) Calcule .
[
\left(f(x, y)=3 \mathrm{x}+x^{2} y-y^{3}+C, e^{3 \pi}+1 \mathrm{~J}\right)

Passo 1

A questão pede pra gente achar uma função potencial f tal que a campo conversivo vec F=nabla f e depois calcular a integral de linha em C. O conteúdo envolve campos conservativos, potenciais e o Teorema Fundamental do Cálculo para linhas.

Passo 2

Primeiro verificamos que vec F(x,y)=(P,Q) com P=3+2xy e Q=x^2-3y^2 é conservativo porque as derivadas mistas coincidem: partial P/partial y=2x=partial Q/partial x. Então existe f tal que nabla f=vec F.

Passo 3

Para achar f integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral(3+2xy),dx=3x+x^2y+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.
Agora derivamos esse candidato em relação a y e igualamos a Q:
partial fpartial y=x^2+g'(y)=x^2-3y^2
Logo g'(y)=-3y^2 e, ao integrar, g(y)=-y^3+C. Concluímos
f(x,y)=3x+x^2y-y^3+C

Passo 4

Como vec F=nabla f, pela Teorema Fundamental de Cálculo para campos conservativos:
integralCvec Fcdot dvec r=fl(r(pi)r)-fl(r(0)r)

Passo 5

O parâmetro dá r(0)=(0,1) e r(pi)=(0,-e^pi). Substituindo em f:
f(0,-e^pi)=e^3pi,
f(0,1)=-1
Então a integral vale
e^3pi-(-1)=e^3pi+1

Resposta

f(x,y)=3x+x{2}y-y{3}+C, \quad \int_{C}\vec F\cdot d\vec r=e^{3\pi}+1

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