Sabendo que sumk=1^n k=n(n+1)2 e sumk=1^n k^2=n(n+1)(2 n+1)6, encontre sumk=1^n k(2 k-1).

Passo 1

O exercício pede para calcular o somatório sumk=1^n k(2k-1). O conteúdo envolve somatórios e as fórmulas conhecidas de sumk=1^n k e sumk=1^n k^2. Vamos usar propriedades lineares de somatórios e as expressões dadas.

Passo 2

Como os somatórios são lineares, podemos separar o termo k(2k-1) assim:
sumk=1^n k(2k-1) = 2sumk=1^n k^2 - sumk=1^n k

Passo 3

Agora substituímos as fórmulas conhecidas:
sumk=1^n k^2 = n(n+1)(2n+1)6, sumk=1^n k = n(n+1)2
Logo, temos
sumk=1^n k(2k-1) = 2 cdot n(n+1)(2n+1)6 - n(n+1)2

Passo 4

Basta agora colocar no mesmo denominador (6) e simplificar:
sumk=1^n k(2k-1) = 2n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)6 = n(n+1)l(2(2n+1) -3r)6 = n(n+1)(4n-1)6

Resposta

sumk=1^n k(2k-1) = n(n+1)(4n-1)6.

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