Provar a propriedade: Sejam vec{f}(x, y, z)=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right) e vec{g}(x, y, z)= ( g_{1}, g_{2}, g_{3} ) funções vetoriais definidas em um domínio D com derivadas parciais de 1{ }^{\mathrm{a}} ordem contínuas em D. Então:
\operatorname{rot}(h \vec{f})=h \operatorname{rot} \vec{f}+\operatorname{grad} h \times \vec{f} onde h=h(x, y, z) é uma função escalar diferenciável em D.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\operatorname{rot}(h\vec{f}) = h\,\operatorname{rot}\vec{f} + \operatorname{grad}h \times \vec{f},
onde \vec{f}(x,y,z)=(f_{1},f_{2},f_{3}) tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D e h(x,y,z) é escalar diferenciável em D.\n
Informações dadas:
\vec{f}=(f_{1},f_{2},f_{3}),\qquad h=h(x,y,z)
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D.\n
Pergunta a responder: mostrar que a igualdade vetorial acima vale para todos os pontos de D.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente as definições que usaremos (isso é importante para não pular passos):\n
Definição do gradiente de h:
\operatorname{grad}h = \nabla h = \left(\dfrac{\partial h}{\partial x},\dfrac{\partial h}{\partial y},\dfrac{\partial h}{\partial z}\right).
Aqui \dfrac{\partial h}{\partial x} significa a derivada parcial de h em relação a x, etc.\n
Definição do rotacional (curl) de um campo \vec{F}=(F_1,F_2,F_3):
\operatorname{rot}\vec{F}=\nabla\times\vec{F}=\left(\dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z},\;\dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x},\;\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Definição do produto vetorial entre \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3):
\vec{a}\times\vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1).
Regra do produto (produto de funções) para derivadas parciais: se u(x,y,z) e v(x,y,z) são diferenciáveis então
\dfrac{\partial}{\partial x}(u v)=\dfrac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\dfrac{\partial v}{\partial x},
e análoga para \partial/\partial y,\partial/\partial z. Isso é essencial aqui porque h\vec{f} multiplica um escalar por cada componente de \vec{f}.

Passo 3

Começamos calculando componente a componente o rotacional de h\vec{f}. Primeiro escrevemos explicitamente
h\vec{f} = (h f_{1},\; h f_{2},\; h f_{3}).
Aplicando a fórmula do rotacional para a primeira componente:
\big(\operatorname{rot}(h\vec{f})\big)_1 = \dfrac{\partial}{\partial y}(h f_{3}) - \dfrac{\partial}{\partial z}(h f_{2}).
Usando a regra do produto para cada derivada parcial:
\dfrac{\partial}{\partial y}(h f_{3}) = \dfrac{\partial h}{\partial y}\,f_{3} + h\,\dfrac{\partial f_{3}}{\partial y},
\dfrac{\partial}{\partial z}(h f_{2}) = \dfrac{\partial h}{\partial z}\,f_{2} + h\,\dfrac{\partial f_{2}}{\partial z}.
Subtraindo:
\big(\operatorname{rot}(h\vec{f})\big)_1 = \big(\dfrac{\partial h}{\partial y}\,f_{3} - \dfrac{\partial h}{\partial z}\,f_{2}\big) \;+\; h\big(\dfrac{\partial f_{3}}{\partial y} - \dfrac{\partial f_{2}}{\partial z}\big).

Passo 4

Agora interpretamos os dois termos obtidos para a primeira componente. Note que
h\big(\dfrac{\partial f_{3}}{\partial y} - \dfrac{\partial f_{2}}{\partial z}\big) = h\big(\operatorname{rot}\vec{f}\big)_1,
pois \big(\operatorname{rot}\vec{f}\big)_1 é exatamente \dfrac{\partial f_{3}}{\partial y}-\dfrac{\partial f_{2}}{\partial z}.\n
O outro termo é
\dfrac{\partial h}{\partial y}\,f_{3} - \dfrac{\partial h}{\partial z}\,f_{2}.
Mas, comparando com a fórmula do produto vetorial \operatorname{grad}h\times\vec{f}, cuja primeira componente é
\big(\operatorname{grad}h\times\vec{f}\big)_1 = \dfrac{\partial h}{\partial y}\,f_{3} - \dfrac{\partial h}{\partial z}\,f_{2},
concluímos que a primeira componente se escreve como soma dos dois efeitos desejados:
\big(\operatorname{rot}(h\vec{f})\big)_1 = h\big(\operatorname{rot}\vec{f}\big)_1 + \big(\operatorname{grad}h\times\vec{f}\big)_1.

Passo 5

Repetimos o mesmo raciocínio para a segunda componente. Pela definição do rotacional:
\big(\operatorname{rot}(h\vec{f})\big)_2 = \dfrac{\partial}{\partial z}(h f_{1}) - \dfrac{\partial}{\partial x}(h f_{3}).
Aplicando a regra do produto:
\dfrac{\partial}{\partial z}(h f_{1}) = \dfrac{\partial h}{\partial z}\,f_{1} + h\,\dfrac{\partial f_{1}}{\partial z},
\dfrac{\partial}{\partial x}(h f_{3}) = \dfrac{\partial h}{\partial x}\,f_{3} + h\,\dfrac{\partial f_{3}}{\partial x}.
Subtraindo:
\big(\operatorname{rot}(h\vec{f})\big)_2 = \big(\dfrac{\partial h}{\partial z}\,f_{1} - \dfrac{\partial h}{\partial x}\,f_{3}\big) \;+\; h\big(\dfrac{\partial f_{1}}{\partial z} - \dfrac{\partial f_{3}}{\partial x}\big).
Reconhecemos que \dfrac{\partial f_{1}}{\partial z} - \dfrac{\partial f_{3}}{\partial x} = \big(\operatorname{rot}\vec{f}\big)_2 e que
\big(\operatorname{grad}h\times\vec{f}\big)_2 = \dfrac{\partial h}{\partial z}\,f_{1} - \dfrac{\partial h}{\partial x}\,f_{3}.
Logo
\big(\operatorname{rot}(h\vec{f})\big)_2 = h\big(\operatorname{rot}\vec{f}\big)_2 + \big(\operatorname{grad}h\times\vec{f}\big)_2.

Passo 6

Fazemos a terceira componente. Pela definição:
\big(\operatorname{rot}(h\vec{f})\big)_3 = \dfrac{\partial}{\partial x}(h f_{2}) - \dfrac{\partial}{\partial y}(h f_{1}).
Usando a regra do produto:
\dfrac{\partial}{\partial x}(h f_{2}) = \dfrac{\partial h}{\partial x}\,f_{2} + h\,\dfrac{\partial f_{2}}{\partial x},
\dfrac{\partial}{\partial y}(h f_{1}) = \dfrac{\partial h}{\partial y}\,f_{1} + h\,\dfrac{\partial f_{1}}{\partial y}.
Subtraindo:
\big(\operatorname{rot}(h\vec{f})\big)_3 = \big(\dfrac{\partial h}{\partial x}\,f_{2} - \dfrac{\partial h}{\partial y}\,f_{1}\big) \;+\; h\big(\dfrac{\partial f_{2}}{\partial x} - \dfrac{\partial f_{1}}{\partial y}\big).
Observamos que \dfrac{\partial f_{2}}{\partial x} - \dfrac{\partial f_{1}}{\partial y} = \big(\operatorname{rot}\vec{f}\big)_3 e
\big(\operatorname{grad}h\times\vec{f}\big)_3 = \dfrac{\partial h}{\partial x}\,f_{2} - \dfrac{\partial h}{\partial y}\,f_{1}.
Portanto
\big(\operatorname{rot}(h\vec{f})\big)_3 = h\big(\operatorname{rot}\vec{f}\big)_3 + \big(\operatorname{grad}h\times\vec{f}\big)_3.

Passo 7

Juntando as três componentes (primeira, segunda e terceira) obtemos a igualdade vetorial desejada:
\operatorname{rot}(h\vec{f}) = h\,\operatorname{rot}\vec{f} + \operatorname{grad}h \times \vec{f}.
Explicação rápida do porquê funciona: em cada componente apareceu um termo com h vezes a componente correspondente de \operatorname{rot}\vec{f} (isso vem de derivar só \vec{f}) e um termo formado só por derivadas de h multiplicadas por componentes de \vec{f} (isso é exatamente \operatorname{grad}h\times\vec{f}). A continuidade das derivadas parciais garante que todas as operações são válidas ponto a ponto.

Resposta

\operatorname{rot}(h\vec{f}) = h\,\operatorname{rot}\vec{f} + \operatorname{grad}h \times \vec{f}

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