Provar a propriedade: Sejam
e
(
) funções vetoriais definidas em um domínio
com derivadas parciais de
ordem contínuas em
. Então:
onde
é uma função escalar diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
onde
tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em
e
é escalar diferenciável em
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em
.\n
Pergunta a responder: mostrar que a igualdade vetorial acima vale para todos os pontos de .
Pergunta a responder: mostrar que a igualdade vetorial acima vale para todos os pontos de
Passo 2
Vamos escrever explicitamente as definições que usaremos (isso é importante para não pular passos):\n
Definição do gradiente de :
Definição do gradiente de
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
, etc.\n
Definição do rotacional (curl) de um campo :
Definição do rotacional (curl) de um campo
Definição do produto vetorial entre
e
:
Regra do produto (produto de funções) para derivadas parciais: se
e
são diferenciáveis então
e análoga para
. Isso é essencial aqui porque
multiplica um escalar por cada componente de
.
Passo 3
Começamos calculando componente a componente o rotacional de
. Primeiro escrevemos explicitamente
Aplicando a fórmula do rotacional para a primeira componente:
Usando a regra do produto para cada derivada parcial:
Subtraindo:
Passo 4
Agora interpretamos os dois termos obtidos para a primeira componente. Note que
pois
é exatamente
.\n
O outro termo é
O outro termo é
Mas, comparando com a fórmula do produto vetorial
, cuja primeira componente é
concluímos que a primeira componente se escreve como soma dos dois efeitos desejados:
Passo 5
Repetimos o mesmo raciocínio para a segunda componente. Pela definição do rotacional:
Aplicando a regra do produto:
Subtraindo:
Reconhecemos que
e que
Logo
Passo 6
Fazemos a terceira componente. Pela definição:
Usando a regra do produto:
Subtraindo:
Observamos que
e
Portanto
Passo 7
Juntando as três componentes (primeira, segunda e terceira) obtemos a igualdade vetorial desejada:
Explicação rápida do porquê funciona: em cada componente apareceu um termo com
vezes a componente correspondente de
(isso vem de derivar só
) e um termo formado só por derivadas de
multiplicadas por componentes de
(isso é exatamente
). A continuidade das derivadas parciais garante que todas as operações são válidas ponto a ponto.